Question

如圖，在∠MAN內(nèi)有一定點(diǎn)P，已知tan∠MAN=3，P到直線AN的距離PD=12，AD=30．過P任作一條直線分別與AN、AM交于點(diǎn)B、C．求△ABC面積的最小值．

Answer 1

解：可證明，當(dāng)過點(diǎn)P的直線滿足PB=PC時(shí)，△ABC的面積最小．
事實(shí)上，設(shè)B₁C₁為過點(diǎn)P的任一直線，構(gòu)成△AB₁C₁．
如圖，作CF∥B₁B，則△PCF≌△PBB₁，
故S_△ABC=S_△PCF+S_{四邊形AB1PC}＜S_△AB1C1．
根據(jù)上述的幾何結(jié)論計(jì)算如下．
因?yàn)镻D=12，所以CE=24，
又因?yàn)閠an∠MAN=3，
所以AE=8，
由ED=BD，
而ED=AD-AE=22，
得BD=22．
故AB=AD+BD=52．
（S_△ABC）min=AB•CE=624．
分析：可證明，當(dāng)過點(diǎn)P的直線滿足PB=PC時(shí)，△ABC的面積最�。�設(shè)B₁C₁為過點(diǎn)P的任一直線，構(gòu)成△AB₁C₁．作CF∥B₁B，可證明△PCF≌△PBB₁，則S_△ABC=S_△PCF+S_{四邊形AB1PC}＜S_△AB1C1．即可求出CE，再由tan∠MAN=3，可得AE，從而得出BD，即可得出△ABC面積的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性的題目，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，難度偏大．