Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，BC=4，D為AB上一點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E,DE=1,P為CE上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CP的長(zhǎng)為a.

（1）求CE的長(zhǎng)；

（2）a為何值時(shí)，△DEP與△BCP相似？

（3）當(dāng)PD+PB有最小值時(shí)，求a的值及最小值.

Answer 1

【答案】（1）CE=12；（2）a的值為或6+4或6-；（3）13.

【解析】

（1）證明三角形ADE與三角形ABC相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，且AE=16-CE，可解得CE的值.

（2）此時(shí)分為兩種情況進(jìn)行談?wù)�，分別是△DEP∽△BCP與△DEP∽△PCB.

（3）找到B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，當(dāng)D與F在同一直線上時(shí)，PD+PB最短.

（1）∵DE⊥AC ∠AED=90°=∠ACB 又∠A公共

∴△ADE∽△ABC ∴ 即，CE=12.

（2）分兩種情況：①△DEP∽△BCP，此時(shí)，即，a=

②△DEP∽△PCB，此時(shí)，即，，

∴a的值為或6+4或6-.

（3）

延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF=CB，連接DF交CE于點(diǎn)P，如圖：

∠DPE=∠CPF，∠DEP=∠PCF，則△DEP∽△FCP

于是，得 a=.

此時(shí)BP=，DP=，最小值為13.