Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠ABC=，AB=5，D是線段AB上的一點（與點A、B不重合），直線DP⊥AB，與線段AC相交于點Q，與射線BC相交于點P，E是AQ的中點，線段ED的延長線與線段CB的延長線相交于點F．
（1）求證：△FBD∽△FDP；
（2）求BF：BP的值；
（3）若⊙A與直線BC相切，⊙B的半徑等于線段BF的長，設(shè)BD=x，當⊙A與⊙B相切時，請求出x的值．

Answer 1

（1）證明：∵∠ACB=∠PDB=90°，∠ABC=∠PBD，
∴∠A=∠BPD，
又∵∠ADQ=90°，E是AQ的中點，
∴AE=EQ=DE，
∴∠A=∠ADE，
而∠FDB=∠ADE，
∴∠FDB=∠FPD，
而∠DFB=∠PFD
∴△FBD∽△FDP；

（2）解：∵∠PDB=90°，
∴tan∠DBP==，
∵△FBD∽△FDP，
∴S_△FBD：S_△FDP=²=，
∴S_△FDB：S_△DBP=9：7，
∴BF：BP=9：7；

（3）解：過C作CD′⊥AB，如圖
∵tan∠ABC=，AB=5，
∴BC=3，AC=4，
∴CD′==，
在Rt△BCD′中，BD′==，
∴＜x＜5；
∴DP=x，BP=x，
∴BF=•x=x，
當⊙A與⊙B外切時，
∴BF+AC=AB，即x+4=5，解得x=，而＜，則Q點不在線段AC上，不合題意舍去；
當⊙A與⊙B內(nèi)切時，
∴BF-AC=AB，即x-4=5，解得x=，
綜上所述，x=．
分析：（1）根據(jù)等角的余角相等得∠A=∠BPD，又DE為直角三角形ADQ斜邊上的中線，則AE=EQ=DE，∠A=∠ADE，而∠FDB=∠ADE，易得∠FDB=∠FPD，根據(jù)三角形相似的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）由tan∠DBP==，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)定理得到S_△FBD：S_△FDP=²=，則有S_△FDB：S_△DBP=9：7，再根據(jù)三角形的面積公式即可得到BF：BP=9：7；
（3）過C作CD′⊥AB，由tan∠ABC=，AB=5，易得BC=3，AC=4，利用等積法求得CD′==，根據(jù)勾股定理可計算出BD′，即得到x的取值范圍：∴＜x＜5；然后根據(jù)兩圓相切的性質(zhì)得到BF+AC=AB或BF-AC=AB，再分別計算出x，得到滿足條件的x的值即可．
點評：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：有兩個角對應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形面積的比等于相似比的平方．也考查了解直角三角形以及相切兩圓的性質(zhì)．