Question

18．如圖，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，M、N是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線l的異側(cè)，若∠AMB=45°，則四邊形MANB面積的最大值是（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 4
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 8$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 過點(diǎn)O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB、DA、DB、EA、EB，根據(jù)圓周角定理推出△OAB為等腰直角三角形，求得AB=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$，根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論．

解答 解：過點(diǎn)O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB、DA、DB、EA、EB，如圖，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$，
∵S_{四邊形MANB}=S_△MAB+S_△NAB，
∴當(dāng)M點(diǎn)到AB的距離最大，△MAB的面積最大；當(dāng)N點(diǎn)到AB的距離最大時(shí)，△NAB的面積最大，
即M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，
此時(shí)四邊形MANB面積的最大值=S_{四邊形DAEB}=S_△DAB+S_△EAB=$\frac{1}{2}$AB•CD+$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$AB（CD+CE）=$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×4=4$\sqrt{2}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．