Question

如圖：在△ABC中，AB=7，AC=6，BC=8，線段BC所在直線以每秒2個單位的速度沿CA方向運動，并始終保持與原位置平行，該直線與AB交于點D，與AC交于點E．記x秒時，該直線在△ABC內(nèi)的部分長度為y，
（1）請判斷：△ADE與△ABC相似嗎？
（2）求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．并寫出自變量x的取值范圍；
（3）若△ABC的高AF約為5，過點D作DM⊥BC于點M，過點E作EN⊥BC于點N．
①請用含x的代數(shù)式來表示EN．
②設(shè)四邊形DMNE的面積是S；求出當(dāng)x取何值時S能取到最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）△ADE與△ABC相似，由DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC；
（2）設(shè)AF交DE于K，由△ADE∽△ABC得到對應(yīng)邊成比例，即

AD

AB

=

DE

BC

，又由AD=AB-BD=7-2x，AB=7，BC=8，即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）①由題意可知四邊形DMNE是矩形，由矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)高之比等于相似比即可用含x的代數(shù)式來表示EN；
②因為矩形的面積=長×寬，即DE×EN，由（1）可知DE的長，由①可知EN的長，進而求出S的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出當(dāng)x取何值時S能取到最大值，并求出最大值．

解答：解：（1）△ADE與△ABC相似，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC；

（2）∵△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

DE

BC

，
∵BD=2x，
∴AD=AB-BD=7-2x，
∵AB=7，BC=8，
∴

7-2x

7

=

y

8

，
解得：y=-

16

7

x+8（0＜x＜3.5）．
答：y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

16

7

+8（0＜x＜3.5）；

（3）①設(shè)AF交DE于K，
∵D作DM⊥BC于點M，點E作EN⊥BC于點N，DE∥BC，
∴四邊形DMNE是矩形，
∵AF⊥BC，
∴四邊形KFEN是矩形，
∴EN=KF，
∵△ADE∽△ABC，
∴

AK

AF

=

DE

BC

，
∴

5-EN

5

=

- 16 7 x+8

8

，
解得：EN=

10

7

x；
②∵四邊形DMNE的面積S=DE×EN=（-

16

7

x+8）•

10

7

x=-

160

49

x²+

80

7

x，
∴S是x的二次函數(shù)，
∴當(dāng)x=-

b

2a

=

7

4

時，函數(shù)有最大值為10．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)以及矩形的面積和二次函數(shù)的性質(zhì)，此題難度適中，注意掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．