Question

17．如圖，MN是⊙O的直徑，MN=4，∠AMN=40°，點B為弧AN的中點，點P是直徑MN上的一個動點，則PA+PB的最小值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過A作關(guān)于直線MN的對稱點A′，連接A′B，由軸對稱的性質(zhì)可知A′B即為PA+PB的最小值，由對稱的性質(zhì)可知$\widehat{AN}$=$\widehat{A′N}$，再由圓周角定理可求出∠A′ON的度數(shù)，再由勾股定理即可求解．

解答 解：過A作關(guān)于直線MN的對稱點A′，連接A′B，由軸對稱的性質(zhì)可知A′B即為PA+PB的最小值，
連接OB，OA′，AA′，
∵AA′關(guān)于直線MN對稱，
∴$\widehat{AN}$=$\widehat{A′N}$，
∵∠AMN=40°，
∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，
∴∠A′OB=120°，
過O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=2$\sqrt{3}$，
即PA+PB的最小值2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題，圓周角定理及勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解．