Question

已知：在△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)E在直線AB上，ED與直線AC垂直，垂足為D，且點(diǎn)M為EC中點(diǎn)，連接BM，DM．

（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段AB上，探究線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出你得到的結(jié)論；
（2）如圖2，若點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明；
（3）若點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上，請(qǐng)你根據(jù)條件畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并直接寫(xiě)出線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于BM、DM分別是Rt△DEC、Rt△EBC的斜邊上的中線，即可證得BM=DM=CE；易知BM=MC=DM，結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可知∠EMB=2∠MCB，∠DME=2∠DCM，兩式相加即可得到∠BMD=2∠BCD．
（2）同（1）易證得DM=BM；由于BM=MC=DM=EM，結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可得：∠BME=2∠BCM，∠DME=2∠MCD，兩式相減即可得到∠BMD=2∠BCD．
（3）此題應(yīng)分三種情況：
①D點(diǎn)在線段AC上時(shí)，易證得BM=MD，同（2）可證得∠BMD=2∠BCD；
②D、C重合，此時(shí)BM=MD，而∠BCD不存在；
③D點(diǎn)在AC的延長(zhǎng)線上，同（2）可得到∠BMD=∠BME+∠EMD=2∠BCD，所以鈍角∠BMD=360°-2∠BCD．
解答：解：（1）結(jié)論：BM=DM，∠BMD=2∠BCD．
理由：∵BM、DM分別是Rt△DEC、Rt△EBC的斜邊上的中線，
∴BM=DM=CE；
又∵BM=MC，∴∠MCB=∠MBC，即∠BME=2∠BCM；
同理可得∠DME=2∠DCM；
∴∠BME+∠DME=2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD=2∠BCD．

（2）在（1）中得到的結(jié)論仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD
證法一：∵點(diǎn)M是Rt△BEC的斜邊EC的中點(diǎn)，
∴BM=EC=MC，
又點(diǎn)M是Rt△BEC的斜邊EC的中點(diǎn)，
∴DM=EC=MC，
∴BM=DM；
∵BM=MC，DM=MC，
∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM，
∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM
=2（∠BCM+∠DCM）=2∠BCD，
即∠BMD=2∠BCD．
證法二：∵點(diǎn)M是Rt△BEC的斜邊EC的中點(diǎn)，
∴BM=EC=ME；
又點(diǎn)M是Rt△DEC的斜邊EC的中點(diǎn)，
∴DM=EC=MC，
∴BM=DM；
∵BM=ME，DM=MC，
∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC，
∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD，
∴∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME），
=180°-2（∠BEM+∠MCD）=180°-2（90°-∠BCD）=2∠BCD，
即∠BMD=2∠BCD．

（3）所畫(huà)圖形如圖所示：

圖1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；
圖2中∠BCD不存在，有BM=DM；
圖3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．
解法同（2）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，要注意（3）題中，點(diǎn)D的位置有三種，不要遺漏任何一種情況．