Question

已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直線AE與BD交于點(diǎn)F．

（1）如圖1，若∠ACD=60°，則∠AFB=則

120°

，如圖2，若∠ACD=90°，則∠AFB=

90°

，如圖3，若∠ACD=α，則∠AFB=

180°-α

（用含α的式子表示）；
（2）設(shè)∠ACD=α，將圖3中的△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點(diǎn)F至少在BD、AE中的一條線段上），如圖4，試探究∠AFB與α的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．

Answer 1

分析：（1）如圖1，首先證明△BCD≌△ECA，得出∠EAC=∠BDC，再根據(jù)∠AFB是△ADF的外角求出其度數(shù)．如圖2，首先證明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，進(jìn)而得出∠AFB=90°．如圖3，由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的內(nèi)角和定理得∠CAE=∠CDB，從而得出∠DFA=∠ACD，得到結(jié)論∠AFB=180°-α．
（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通過(guò)證明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形內(nèi)角和定理得到結(jié)論∠AFB=180°-α．

解答：解：（1）如圖1，CA=CD，∠ACD=60°，
所以△ACD是等邊三角形．
∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
所以△ECB是等邊三角形．
∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD．
∵AC=DC，CE=BC，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC=∠BDC．
∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．
如圖2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠AEC=∠DBC，
又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，
∴∠EFD=90°．
∴∠AFB=90°．
如圖3，∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
∴∠CAE=∠CDB．
∴∠DFA=∠ACD．
∴∠AFB=180°-∠DFA=180°-∠ACD=180°-α．

（2）∠AFB=180°-α；
證明：∵∠ACD=∠BCE=α，則∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
∵

AC=DC ∠ACE=∠DCB CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
則∠CBD=∠CEA，由三角形內(nèi)角和知∠EFB=∠ECB=α．
∠AFB=180°-∠EFB=180°-α．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，本題還綜合了旋轉(zhuǎn)的知識(shí)點(diǎn)，是一道綜合性比較強(qiáng)的題，要熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理．