.(本題12分)

已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過P(,3),E(,0)及原點O(0,0)

(1)求拋物線的解析式;

(2)過P點作平行于x軸的直線PC交y軸于C點,在拋物線對稱軸右側(cè)

且位于直線PC下方的拋物線上,任取一點Q,過點Q作直線QA平行于y

軸交x軸于A點,交直線PC于B點,直線QA與直線PC及兩坐標軸圍成矩形OABC(如圖).是否存在點Q,使得△OPC與△PQB相似?若存在,求出Q點的坐標;若不存在,請說明理由;

(3)如果符合(2)中的Q點在x軸的上方,連接OQ,矩形OABC內(nèi)的四個三角形△OPC,△PQB,△OQP,△OQA之間存在怎樣的關系,為什么?

 

 

 

 解:(1)由已知可得:

解之得,a=-,b=,c=0.

因而得,拋物線的解析式為:y=-x2+x.

(2)存在.

設Q點的坐標為(m,n),則,

要使△OCP∽△PBQ,

則有,即,

解之得,m1=3,m2=

當m1=時,n=2,即為P點,

所以得Q(2,2)

要使△OCP∽△QPB,則有,

解之得,m1=3,m2=,

當m=時,即為P點,

當m1=3時,n=-3,

所以得Q(3,-3).

故存在兩個Q點使得△OCP與△PBQ相似.Q點的坐標為(2,2),(3,-3).

(3)在Rt△OCP中,

因為tan∠COP=

所以∠COP=30度.

當Q點的坐標為(2,2)時,∠BPQ=∠COP=30度.

所以∠OPQ=∠OCP=∠B=∠QAO=90度.

因此,△OPC,△PQB,△OPQ,△OAQ都是直角三角形.

又在Rt△OAQ中,

因為tan∠QOA=

所以∠QOA=30度.

即有∠POQ=∠QOA=∠QPB=∠COP=30度.

所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA,

又因為QP⊥OP,QA⊥OA∠POQ=∠AOQ=30°,

所以△OQA≌△OQP.

解析:此題是二次函數(shù)的綜合題,知識點較多,有一定難度。

 

練習冊系列答案
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﹣(本題12分)已知二次函數(shù)y=x2bxcx軸交于A(-1,0)、B(1,0)兩點.
(1)求這個二次函數(shù)的關系式;
(2)若有一半徑為r的⊙P,且圓心P在拋物線上運動,當⊙P與兩坐標軸都相切時,求半徑r的值.
(3)半徑為1的⊙P在拋物線上,當點P的縱坐標在什么范圍內(nèi)取值時,⊙P與y軸相離、相交?

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1.(1)求證:△EGB是等腰三角形

2.(2)若紙片DEF不動,問△ABC繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)最小            度時,四邊形ACDE成為以ED為底的梯形(如圖(2)),求此梯形的高。

 

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1.(1)求該二次函數(shù)的關系式;

2.(2)寫出該二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標;

3.(3)點Q是線段AB上的動點,過點Q作QE∥AC,交BC于點E,連接CQ.當△CQE的面積最大時,求點Q的坐標;

4.(4)若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點P,與直線AC交于點F,點D的坐標為(2,0).問:是否存在這樣的直線,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由。

 

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