Question

如圖①，在矩形ABCD中，把∠B、∠D分別翻折，使點(diǎn)B、D恰好落在對角線AC上的點(diǎn)E、F處，折痕分別為CM、AN。

⑴     求證：△AND≌△CBM；

⑵     請連接MF、NE，求證：四邊形MFNE是平行四邊形；

⑶     點(diǎn)P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點(diǎn)，連接PQ、CQ、MN，如圖②所示，若PQ=CQ，

PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的長。

                                                            

                                                                 圖①

                                                                  圖②

Answer 1

(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。                      

∴∠DAC=∠BCA。                                   ……（1分）

又由翻折的性質(zhì)，得∠DAN=∠NAF=∠DAC，∠ECM=∠BCM=∠BCA，

∴∠DAN=∠BCM。                                  ……（1分）

在△AND和△CBM中，

      ∠D=∠B

      AD=BC

      ∠DAN=∠BCM

∴△AND≌△CBM(ASA)                             ……（1分）

⑵證明:∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。               ……（1分）

又由翻折的性質(zhì)，得DN=FN，BM=EM， ∠NFA=∠D=90°，∠MEC∠B=90°，

∴FN=EM，F(xiàn)N∥EM。                               ……（1分）

∴四邊形MFNE是平行四邊形                         ……（1分）

⑶∵AB=4，BC=3，∴AC=5。                                   

設(shè)DN=x，則由S△ADC=S△AND+S△NAC得 1.5x+2.5 x=6，

解得x=1.5，即DN=BM=1.5。                                    ……（1分）

過點(diǎn)N作NH⊥AB于H，則HM=2.5-1.5=1。

在△NHM中，NH=3，HM=1， 由勾股定理，得NM=。        ……（1分）

∵PQ∥MN，DC∥AB，

∴四邊形NMQP是平行四邊形。                              

∴NP=MQ，PQ= NM=。                                

 又∵PQ=CQ，∴CQ=。                                   ……（1分）

在△CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。

 ∴NP=MQ=0.5�！郟C=2.5-0.5=2