Question

7．如圖1，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-2，0）、B（8，0）、C（0，4）三點，頂點為D，連結(jié)AC，BC．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式及頂點D的坐標(biāo)；
（2）如圖2，點P是該拋物線在第一象限內(nèi)上的一點．
①過點P作y軸的平行線交BC于點E，若CP=CE，求點P的坐標(biāo)；
②連結(jié)AP交BC于點F，求$\frac{PF}{AF}$的最大值．
（3）若點Q在該拋物線的對稱軸上，以Q為圓心的圓過A、B兩點，并且和直線CD相切，求點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-8），將點C的坐標(biāo)代入可求得a的值，從而得到拋物線的解析式，然后依據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸方程，將x=3代入可求得拋物線的頂點坐標(biāo)；
（2）①如圖1所示：作CM⊥PE，垂足為M．先利用待定系數(shù)法求得BC的解析式，設(shè)點P（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4），則點E（m，-$\frac{1}{2}$m+4），M（m，4），接下來依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到PM=EM，從而得到關(guān)于m的方程，于是可求得點P的坐標(biāo)②作PN⊥BC，垂足為N．先證明△PNE∽△COB，由相似三角形的性質(zhì)可知PN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$PE，然后再證明△PFN∽△CAF，由相似三角形的性質(zhì)可得到PF：AF與m的函數(shù)關(guān)系式，從而可求得$\frac{PF}{AF}$的最大值；
（3）設(shè)⊙Q與直線CD的切點為G，連接QG，過點C作CH⊥QD于H，如圖3所示：先依據(jù)勾股定理可求得DC的長，設(shè)Q（3，b），然后依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得到QG的長，從而得到AQ的長，最后再△AQP中依據(jù)勾股定理可得到關(guān)于b的方程，從而得到點Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-8）．
∵拋物線經(jīng)過點C（0，4），
∴-16a=4，解得a=-$\frac{1}{4}$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8）=$-\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4．
∵A（-2，0）、B（8，0），
∴拋物線的對稱軸為x=3．
∵將x=3代入得：y=$\frac{25}{4}$，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，$\frac{25}{4}$）．
（2）①如圖1所示：作CM⊥PE，垂足為M．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b．
∵將B、C的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得k=-$\frac{1}{2}$，b=4，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4．
設(shè)點P（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4），則點E（m，-$\frac{1}{2}$m+4），M（m，4）．
∵PC=EC，CM⊥PE，
∴PM=EM．
∴-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4-4=4-（-$\frac{1}{2}$m+4），解得：m=0（舍去），m=4．
∴P（4，6）．
②作PN⊥BC，垂足為N．

由①得：PE=-$\frac{1}{4}$m²+2m．
∵PE∥y軸，PN⊥BC，
∴∠PNE=∠COB=90°，∠PEN=∠BCO．
∴△PNE∽△BOC．
∴$\frac{PN}{PE}=\frac{OB}{BC}$=$\frac{8}{4\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴PN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$PE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（-$\frac{1}{4}$m²+2m）．
∵AB=10，AC=2$\sqrt{5}$，BC=4$\sqrt{5}$，
∴AC²+BC²=AB²．
∴∠BCA=90°，
又∵∠PFN=∠CFA，
∴△PFN∽△CAF．
∴$\frac{PF}{AF}=\frac{PN}{AC}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}（-\frac{1}{4}{m}^{2}+2m）}{2\sqrt{5}}$=-$\frac{1}{20}$m²+$\frac{2}{5}$m．
∴當(dāng)m=4時，$\frac{PF}{AF}$的最大值為$\frac{4}{5}$．
（3）設(shè)⊙Q與直線CD的切點為G，連接QG，過點C作CH⊥QD于H，如圖3所示：

由（1）可知：CH=3，DH=$\frac{25}{4}$-4=$\frac{9}{4}$．
在△CHD中，由勾股定理可知DC=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$．
設(shè)Q（3，b）則QD=$\frac{25}{4}$-b．
∵sin∠D=$\frac{CH}{DC}=\frac{QG}{DQ}$=$\frac{4}{5}$，
在△AQP中，由勾股定理得QG=$\frac{4}{5}$（$\frac{25}{4}$-b）=b²+5²．
解得：b=0，b=-$\frac{200}{9}$．
∴點Q的坐標(biāo)為（3，0）或（3，-$\frac{200}{9}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的解析式、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理的應(yīng)用，$\frac{PF}{AF}$與m的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．