Question

如圖，AC、BC是⊙O的弦，BC∥AO，AO的延長線與過點C的射線交于點D，且∠D=90°-2∠A．
（1）求證：直線CD是⊙O的切線；
（2）若BC=4，tanD=，求CD和AD的長．

Answer 1

（1）證明：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
又∠DOC為△AOC的外角，
∴∠DOC=2∠A，
∵∠D=90°-2∠A，
∴∠D+∠DOC=90°，
∴∠OCD=90°，
∵OC是⊙O的半徑，
∴直線CD是⊙O的切線；
（2）解：過點O作OE⊥BC于E，則∠OEC=90°，
∵BC=4，
∴CE=BC=2，
∵BC∥AO，
∴∠OCE=∠DOC，
∵∠COE+∠OCE=90°，∠D+∠DOC=90°，
∴∠COE=∠D，
∵tanD=，
∴tan∠COE=，
∵∠OEC=90°，CE=2，
∴OE==4，
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：OC==2，
在Rt△ODC中，由tanD==，得CD=4，
由勾股定理可得：OD==10，
則AD=OA+OD=OC+OD=2+10．
分析：（1）連接OC，由AO=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由∠DOC為△AOC的外角，利用外角的性質(zhì)得到∠DOC=2∠A，代入已知的等式∠D=90°-2∠A中，得到∠D+∠DOC=90°，利用三角形的內(nèi)角和定理得到∠OCD=90°，即CD垂直于半徑OC，可得出CD為圓O的切線，得證；
（2）過O作OE垂直于BC，利用垂徑定理得到E為BC的中點，由BC求出EC的長，由BC與AD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，再利用等角的余角相等得到∠COE=∠D，由tanD的值求出tan∠COE的值，在直角三角形OEC中，利用銳角三角函數(shù)定義及CE的長求出OE的長，利用勾股定理求出OC的長，在直角三角形OCD中，利用tanD及OC的長，求出CD的長，再利用勾股定理求出OD的長，由OA+OD求出AD的長即可．
點評：此題考查了切線的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的思想，其中切線的判定方法有兩種：有點連接證明垂直；無點作垂線證明垂線段等于半徑．