Question

如圖，AB是8O的直徑，點C在BA的延長線上，直線CD與

   8O相切于點D，弦DF^AB于點E，線段CD=10，連接BD；

   (1) 求證：ÐCDE=2ÐB；

   (2) 若BD：AB=：2，求8O的半徑及DF的長。

 

Answer 1

 

（1）略

（2）    10 

解析:(1) [證明] 連接OD，∵直線CD與8O相切于點D，∴OD^CD，

          ∴ÐCDO=90°，∴ÐCDE+ÐODE=90°，又∵DF^AB，

          ∴ÐDEO=ÐDEC=90°，∴ÐEOD+ÐODE=90°，

          ∴ÐCDE=ÐEOD，又∵ÐEOD=2ÐB，∴ÐCDE=2ÐB。

   (2) [解] 連接AD，∵AB是圓O的直徑，∴ÐADB=90°，

         ∵BD：AB=：2，∴在Rt△ADB中，cosB==，

         ∴ÐB=30°，∴ÐAOD=2ÐB=60°，又∵在Rt△CDO中，CD=10，

         ∴OD=10tan30°=，即8O的半徑為，在Rt△CDE中，CD=10，ÐC=30°，

         ∴DE=CDsin30°=5，∵弦DF^直徑AB于點E，∴DE=EF=DF，∴DF=2DE=10。