Question

如圖，拋物線y₁與y₂都與x軸交于點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)A，y₁的頂點(diǎn)是B（2，-1），y₂的頂點(diǎn)是C（2，-3），P是y₁上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作y軸的平行線交y₂于點(diǎn)Q，分別過(guò)P，Q作x軸的平行線，分別交y₁，y₂于點(diǎn)P′，Q′，連接P′Q′．
（1）四邊形PP′Q′Q 是

矩

形．
（2）求y₁與y₂關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（t＞2且t≠4），四邊形PP′Q′Q的周長(zhǎng)為y，試求y與t的函數(shù)關(guān)系式．
（4）當(dāng)四邊形PP′Q′Q是正方形，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性解答；
（2）設(shè)兩函數(shù)的頂點(diǎn)式解析式分別為y₁=a₁（x-2）²-1，y₂=a₂（x-2）²-3，然后把原點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求解即可；
（3）根據(jù)兩函數(shù)解析式表示出PQ，根據(jù)對(duì)稱性求出PP′，然后根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式列式整理即可得解；
（4）根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形列方程求出t的值，再利用拋物線解析式求解即可．

解答：解：（1）∵PP′∥x軸，QQ′∥x軸，
∴四邊形PP′Q′Q關(guān)于對(duì)稱軸直線x=2對(duì)稱，
∵PQ∥y軸，
∴PQ⊥PP′，
∴四邊形PP′Q′Q是矩形；

（2）∵y₁的頂點(diǎn)是B（2，-1），y₂的頂點(diǎn)是C（2，-3），
∴設(shè)兩函數(shù)的解析式分別為y₁=a₁（x-2）²-1，y₂=a₂（x-2）²-3，
則a₁（0-2）²-1=0，a₂（0-2）²-3=0，
解得a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，
所以，y₁=

1

4

（x-2）²-1，y₂=

3

4

（x-2）²-3；

（3）∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（t＞2且t≠4），
∴PQ=|

1

4

（t-2）²-1-

3

4

（t-2）²+3|=|2-

1

2

（t-2）²|=|-

1

2

t²+2t|，
由拋物線的對(duì)稱性，PP′=2（t-2）=2t-4，
∴2＜t＜4時(shí)，y=2（2t-4-

1

2

t²+2t）=-t²+8t-8，
t＞4時(shí)，y=2（2t-4+

1

2

t²-2t）=t²-8，
綜上所述，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=

-t2+8t-8(2＜t＜4) t2-8(t＞4)

；

（4）當(dāng)四邊形PP′Q′Q是正方形時(shí)，PP′=PQ，
∴2t-4=|-

1

2

t²+2t|，
∴①2＜t＜4時(shí)，2t-4=-

1

2

t²+2t，
整理得，t²=8，
解得t₁=2

2

，t₂=-2

2

（舍去），
此時(shí)，y₁=

1

4

（2

2

-2）²-1=2-2

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2

2

，2-2

2

）；
②t＞4時(shí)，2t-4=-（-

1

2

t²+2t），
整理得，t²-8t+8=0，
解得，t₃=4+2

2

，t₄=4-2

2

（舍去），
此時(shí)，y₁=

1

4

（4+2

2

-2）²-1=2+2

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4+2

2

，2+2

2

），
綜上所述，四邊形PP′Q′Q是正方形，點(diǎn)P（2

2

，2-2

2

）或（4+2

2

，2+2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱性，矩形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及鄰邊相等的矩形是正方形，（4）根據(jù)t的取值范圍分情況討論是解題關(guān)鍵，也是本題容易出錯(cuò)的地方．