【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D、E分別在BC、AC上,且CD=2BD,AE=2CE,BE、AD相交于點(diǎn)F,連接DE,則下列結(jié)論:
①∠AFE=60°;②DE⊥AC;③CE2=DFDA;④AFBE=AEAC,正確的結(jié)論有( 。
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【答案】D
【解析】
本題是開放題,對(duì)結(jié)論進(jìn)行一一論證,從而得到答案.①利用△ABD≌△BCE,再用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和,即可證∠AFE=60°;②從CD上截取CM=CE,連接EM,證△CEM是等邊三角形,可證明DE⊥AC;③△BDF∽△ADB,由相似比則可得到CE2=DFDA;④只要證明了△AFE∽△BAE,即可推斷出AFBE=AEAC.
∵△ABC是等邊三角形
∴AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∵BD= BC,CE= AC
∴BD=CE.
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD=∠CBE,
∵∠ABE+∠EBD=60°
∴∠ABE+∠CBE=60°
∵∠AFE是△ABF的外角
∴∠AFE=60°
∴①是對(duì)的;
如圖,從CD上截取CM=CE,連接EM,則△CEM是等邊三角形
∴EM=CM=EC
∵EC= CD
∴EM=CM=DM
∴∠CED=90°
∴DE⊥AC,
∴②是對(duì)的;
由前面的推斷知△BDF∽△ADB
∴BD:AD=DF:DB
∴BD2=DFDA
∴CE2=DFDA
∴③是對(duì)的;
在△AFE和△BAE中,∠BAE=∠AFE=60°,∠AEB是公共角
∴△AFE∽△BAE
∴AFBE=AEAC
∴④是對(duì)的;
故答案為:D.
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【題目】如圖,市防汛指揮部決定對(duì)某水庫的水壩進(jìn)行加高加固,設(shè)計(jì)師提供的方案是:水壩加高1米(EF=1米),背水坡AF的坡度i=1∶1,已知AB=3米,∠ABE=120°,求水壩原來的高度.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,AC2=ABAD,∠ADC=90°,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).
(1)求證:△ADC∽△ACB.
(2)若AD=2,AB=3,求的值.
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(1)求該拋物線的解析式;
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【題目】已知:PA、PB、CD分別切⊙O于A、B、E三點(diǎn),PA=6.求:
(1)△PCD的周長;
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【題目】如圖乙,△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,點(diǎn)P為射線BD,CE的交點(diǎn).
(1)如圖甲,將△ADE繞點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn),當(dāng)C、D、E在同一條直線上時(shí),連接BD、BE,則下列給出的四個(gè)結(jié)論中,其中正確的是_____.
①BD=CE②BD⊥CE③∠ACE+∠DBC=45°④BE2=2(AD2+AB2)
(2)若AB=4,AD=2,把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),
①當(dāng)∠EAC=90°時(shí),求PB的長;
②求旋轉(zhuǎn)過程中線段PB長的最大值.
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