Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，連接EF．求證：EF＝CF．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：如圖

過點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為G

因?yàn)锳BCD為直角梯形，∠A=90°

所以，∠B=90°

又DG⊥BC

所以，四邊形ABGD為矩形

已知AB=AD=6

所以，四邊形ABGD為正方形

所以，AD=GD…………………………………………………（1）

已知DE⊥DC

所以，∠EDC=90°

即，∠EDG+∠CDG=90°

而在正方形ABGD中，∠EDG+∠ADE=90°

所以，∠ADE=∠CDG…………………………………………（2）

又∠A=∠DGC=90°…………………………………………（3）

所以，由(1)(2)(3)知：Rt△DAE≌Rt△DGC（ASA）

所以，DE=DC

已知DF為∠EDC平分線，則：∠EDF=∠CDF

邊DF公共 邊

所以：△EDF≌△CDF（SAS）

所以，EF=CF

【解析】過點(diǎn)D作BC的垂線，結(jié)合題中條件構(gòu)建出正方形，然后通過證明三角形全等證明線段相等。