Question

18．菱形ABCD中，∠B=60°，延長BC至E，使得CE=BC，點F在DE上，DF=6，AG平分∠BAF，與線段BC相交于點G，若CG=2，則線段AB的長度為10．

Answer 1

分析 將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°到△ABK，設(shè)AB=a．作FH⊥AD于H．首先證明KA=KG=a+4，在RT△AFH中利用勾股定理即可解決問題．

解答 解：將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°到△ABK，設(shè)AB=a．作FH⊥AD于H．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=CE=a，AB∥CD，AD∥BC，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCE=∠ABC=60°，
∴△DCE是等邊三角形，
∴∠E=∠EDH=60°，
∵DF=6，
∴DH=$\frac{1}{2}$DF=3，F(xiàn)H=3$\sqrt{3}$，
∵∠AGK=∠DAG=∠DAF+∠FAC，
∵∠DAF=∠KAB，∠FAC=∠BAC，
∴∠KAG=∠KGA，
∴KA=KG=AF=a+4，
在RT△AHF中，∵AH²+FH²=AF²，
∴（a+3）²+（3$\sqrt{3}$）²=（a+4）²，
∴a=10．
故答案為10．

點評 本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．