Question

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分線交于點D，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F，
 
【小題1】求證：四邊形CFDE是正方形
【小題2】若AC＝3，BC＝4，求△ABC的內切圓半徑.

Answer 1

【小題1】過D作DG⊥AB交AB于G點，
∵AD是∠BAC的角平分線
∴∠FAD=∠BAD
∵DF⊥AC,DG⊥AB
∴∠AFD=∠AGD=90°
∵AD=AD
∴△AFD≌△AGD
∴DF=DG
同理可證DE=DG
∴DE=DF
∵∠C=∠CFD=∠CED=90°
∴四邊形CFDE是正方形.   （5分）
【小題2】∵AC＝3，BC＝4
∴AB=5
由（1）知AF=AG,BE=BG
∴AF+BE=AB
∵四邊形CFDE是正方形∴2CE=AC+CB-AB=2，即CE=1
△ABC的內切圓半徑為1.      （10分）解析:
（1）利用角平分線的性質證明出FD=ED，然后利用三個垂直證明四邊形CFDE是正方形；
（2）考查勾股定理和內切圓的圓心是解平分線的交點的性質來求解。