Question

不等式x²+px＞4x+p-3對于一切0≤p≤4均成立，則實數(shù)x的取值范圍是

1＜x＜3

．

Answer 1

分析：不等式變形為x²-1＞（4-p）（x-1），然后討論：當(dāng)p=4時，x²-1＞0，利用二次函數(shù)圖象求解集，得到x＞1或x＜-1；當(dāng)p=0時，x²-4x+3＞0，利用二次函數(shù)的圖象求解集，得到1＜x＜3；當(dāng)0＜p＜4，得到x＞1或x≤-1；最后得到它們的公共部分即可．

解答：解：∵x²+px＞4x+p-3，
∴x²-1＞4x-px+p-4，
∴x²-1＞（4-p）x+p-4，
∴x²-1＞（4-p）（x-1），
當(dāng)p=4時，x²-1＞0，畫出函數(shù)y=x²-1的圖象，找出x軸上方所對應(yīng)的x的取值范圍得到x＞1或x＜-1；
當(dāng)p=0時，x²-4x+3＞0，畫出函數(shù)y=x²-4x+3的圖象，找出x軸上方所對應(yīng)的x的取值范圍得到1＜x＜3；
當(dāng)0＜p＜4，
①當(dāng)x＞1，不等式變形為x+1＞4-p＞0，解得x＞-1，則x＞1；
②當(dāng)x＜1，不等式變形為x+1＜4-p，則x+1≤0，解得x≤-1，則x≤-1；
∴x＞1或x≤-1；
綜上所述，實數(shù)x的取值范圍為1＜x＜3．
故答案為1＜x＜3．

點(diǎn)評：本題考查了利用二次函數(shù)的圖象解不等式：先要畫出二次函數(shù)的圖象，并且得到它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象的位置確定對應(yīng)的自變量的取值范圍．