Question

如圖，AB為⊙O的直徑，D為弦BC的中心，連接OD并延長(zhǎng)交過(guò)點(diǎn)C的切線于點(diǎn)P，連接AC．求證：△CPD∽△ABC．

Answer 1

【答案】分析：連接OC．則∠OCP=90°，再由AB是⊙O的直徑，得AC⊥CD．根據(jù)D為弦BC的中心，則OP⊥BC，再由弦切角定理得出∠PCD=∠A，從的得出結(jié)論．
解答：證明：連接OC．
∵PC是⊙O的切線，點(diǎn)C為切點(diǎn)，
∴∠OCP=90°．（2分）
∵AB是⊙O的直徑，
∴AC⊥CD．
又點(diǎn)D為弦BC的中點(diǎn)，
∴OP⊥CD．（3分）
∴∠P+∠POC=90°，
∠OCD+∠POC=90°．
∴∠P=∠OCD．（5分）
∵OC=OB，
∴∠OCD=∠B．
∴∠P=∠B．（7分）
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．（8分）
∴∠CDP=∠ACB=90°．
∴△CDP∽△ABC．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．