Question

設(shè)x₁、x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+ax+a=2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）的最大值為

 

．

Answer 1

分析：x₁、x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+ax+a=2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，表示出a的二次函數(shù)的形式，然后求解．

解答：解：∵△=a²-4（a-2）=a²-4a+8=（a-2）²+4＞0，
∴對于任意實(shí)數(shù)a，原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
由根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2，
∴（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）=-2（x₁+x₂）²+9x₁x₂，
=-2a²+9a-18，
=-2（a-

9

4

）²-

63

8

，
∴當(dāng)a=

9

4

時(shí)，原式有最大值-

63

8

．
故答案為：-

63

8

．

點(diǎn)評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，難度不大，關(guān)鍵是熟記x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時(shí)，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，反過來可得p=-（x₁+x₂），q=x₁x₂．