Question

如圖，已知四邊形ABCD、A₁B₁C₁D₁都是正方形，A₂、B₂、C₂、D₂分別是AA₁、BB₁、CC₁、DD₁的中點．
求證：四邊形A₂B₂C₂D₂是正方形．（初二）

Answer 1

證明：如圖，連接BC₁和AB₁分別找其中點F，E．連接C₂F與A₂E并延長相交于Q點，
連接EB₂并延長交C₂Q于H點，連接FB₂并延長交A₂Q于G點，
由A₂E=A₁B₁=B₁C₁=FB₂，EB₂=AB=BC=FC₂，
∵∠GFQ+∠Q=90°和∠GEB₂+∠Q=90°，
∴所以∠GEB₂=∠GFQ，
∴∠B₂FC₂=∠A₂EB₂，
可得△B₂FC₂≌△A₂EB₂，
所以A₂B₂=B₂C₂，
又∠HB₂C₂+∠HC₂B₂=90°和∠B₂C₂Q=∠EB₂A₂，
從而可得∠A₂B₂ C₂=90°，
同理可得其它邊垂直且相等，
從而得出四邊形A₂B₂C₂D₂是正方形．
分析：連接BC₁和AB₁分別找其中點F，E，連接C₂F與A₂E并延長相交于Q點，根據(jù)三角形的中位線定理可得A₂E=FB₂，EB₂=FC₂，然后證明得到∠B₂FC₂=∠A₂EB₂，然后利用邊角邊定理證明得到△B₂FC₂與△A₂EB₂全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得A₂B₂=B₂C₂，再根據(jù)角的關系推出得到∠A₂B₂ C₂=90°，從而得到A₂B₂與B₂C₂垂直且相等，同理可得其它邊也垂直且相等，所以四邊形A₂B₂C₂D₂是正方形．
點評：本題主要考查了正方形的性質與判定，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質，綜合性較強，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．