Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C，P是

AB

上兩點，AB=10，AC=6．
（1）如圖1，若點P是

AB

的中點，求PA的長；
（2）如圖2，若點P是

BC

的中點，求PA的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：計算題

分析：（1）連結(jié)PB，如圖1，根據(jù)圓周角定理得到∠APB=90°，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系由

PA

=

PB

得到PA=PB，則△PAB為等腰直角三角形，所以PA=

2

2

AB=5

2

；
（2）連結(jié)BC、BP、PO，OP交BC于H，根據(jù)圓周角定理得，∠APB=∠ACB=90°，再根據(jù)垂徑定理得OP⊥BC，則OH=

1

2

AC=3，在Rt△OBH中利用勾股定理計算出BH=4，在Rt△PBH中計算出PB=2

5

，然后在Rt△ABP中利用勾股定理可計算出PB=4

5

．

解答：解：（1）連結(jié)PB，如圖1，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，
∵點P是

AB

的中點，
∴

PA

=

PB

，
∴PA=PB，
∴△PAB為等腰直角三角形，
∴PA=

2

2

AB=

2

2

×10=5

2

；
（2）連結(jié)BC、BP、PO，OP交BC于H，如圖2，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=∠ACB=90°，
∵點P是

BC

的中點，
∴OP⊥BC，
∴BH=CH，
∴OH=

1

2

AC=3，
在Rt△OBH中，∵OB=5，OH=3，
∴BH=

OB2-OH2

=4，
在Rt△PBH中，∵PH=OP-OH=5-3=2，BH=4，
∴PB=

PH2+BH2

=2

5

，
在Rt△ABP中，∵AB=10，PB=2

5

，
∴PA=

AB2-PB2

=4

5

．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了勾股定理．