Question

12．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列結(jié)論：①AC-BE=AE；②點(diǎn)E在線段BC的垂直平分線上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD，其中正確的有（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，然后求出∠2=∠C，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得BE=CE，結(jié)合圖形AC-CE=AE，即可得到①正確；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得到點(diǎn)E在線段BC的垂直平分線上，從而得到②正確；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分別得到∠DAE和∠C的度數(shù)，從而得到③正確；根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)可得AB和BC，AD的關(guān)系，進(jìn)一步得到BC和AD的關(guān)系，從而得到④正確．

解答 解：如圖，∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠2=∠C，
∴BE=CE，
∵AC-CE=AE，
∴AC-BE=AE，故①正確；
∵BE=CE，
∴點(diǎn)E在線段BC的垂直平分線上，故②正確；
∵∠1=∠2=∠C，
∴∠C=∠1=30°，
∴∠AEB=90°-30°=60°，
∴∠DAE=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠C，故③正確；
在Rt△BAC中，∠C=30°，
∴BC=2AB，
在Rt△BDA中，∠1=30°，
∴AB=2AD，
∴BC=4AD，故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．