Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且∠ADE=45度．
（1）求證：△ABD∽△DCE．
（2）當D在什么位置時，△ABD≌△DCE．

Answer 1

解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=45°，
又因為∠DEC=∠ADE+∠CAD=45°+∠CAD（三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和），
同理∠ADB=∠C+∠CAD=45°+∠CAD，
∴∠DEC=∠ADB又∠ABD=∠DCE=45°，
∴△ABD∽△DCE．

（2）在Rt△ABC內(nèi)，作∠BAD=22.5°，
（即∠A的四等份線）交BC于D，則點D即為所求．
∵△ABD∽△DCE當AB=CD時，△ABD≌△DCE，
∵AB=AC，
∴CD=AC從而∠ADC=∠CAD．
又∵∠C=∠B=45°，∠ADE=45°，
∴∠EDC=22.5°．
分析：（1）要證△ABD∽△DCE，根據(jù)已知，可知∠B=∠C，只需要再證∠DEC=∠ADB，利用三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角之和，可證．那么△ABD∽△DCE；
（2）由（1）中的相似，再加一個條件，即能全等，比如加上AB=CD即可．那么AB=AC=CD，再由△ABD≌△DCE，可得∠ADC=∠CAD，那么就有2∠EDC+45°=90°，即∠EDC=22.5度．
點評：本題利用了三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和，相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)．