Question

公園要建造一個如圖1的圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖2所示．為使水流形狀較為漂亮，設計成水流在與OA水平距離為1米時，達到距水面最大高度2.25米（不計其他因素）．
（1）在如圖2的直角坐標系中，求y軸兩側拋物線的解析式；
（2）請你通過計算回答水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外？

Answer 1

分析：（1）根據題意可知右側拋物線的頂點坐標是（1，2.25），并且經過點（0，1.25），設出頂點式解析式，利用待定系數法求解即可；再根據對稱性寫出左側的拋物線解析式；
（2）把y=0代入拋物線解析式求出x的值，就是水池的半徑．

解答：解：（1）根據題意，右側拋物線的頂點坐標是（1，2.25），并且經過點（0，1.25），
設拋物線解析式為y=a（x-1）²+2.25，
則a（0-1）²+2.25=1.25，
解得a=-1，
∴右側的拋物線解析式為y=-（x-1）²+2.25，
∵水流沿形狀相同的拋物線落下，
∴左、右兩側的拋物線關于y軸對稱，
∴左側的拋物線解析式為y=-（x+1）²+2.25；

（2）當y=0時，-（x-1）²+2.25=0，
解得x₁=2.5，x₂=-0.5（舍去），
∴水池的半徑至少2.5米．
故答案為：（1）左側的拋物線解析式為y=-（x+1）²+2.25，右側的拋物線解析式為y=-（x-1）²+2.25；
（2）水池的半徑至少為2.5米．

點評：本題主要考查了二次函數的應用，與待定系數法求二次函數解析式，根據拋物線頂點式解析式求解更加簡便．