Question

4．已知⊙O為△ABC的外接圓，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點F，交⊙O于點D
（1）如圖1，求證：BD=ED；
（2）如圖2，AD為⊙O的直徑．若BC=6，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，求OE的長．

Answer 1

分析 （1）連接BE．依據(jù)三角形的內(nèi)心的性質(zhì)以及圓周角定理證明∠DBE=∠DEB即可；
（2）連接OB．先證明圓周角定理和三角形的內(nèi)心的性質(zhì)可知∠BAC=∠BOF，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得OB的長，然后依據(jù)勾股定理可求得OF的長于是得到DF的長，接下來，在△BDF中，由勾股定理可求得BD的長，依據(jù)問題（1）的結(jié)論可得到DE的長，從而求得OE的長．

解答 解：（1）證明：連接BE．

∵是△ABC的內(nèi)心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．
∵∠DBC=∠CAD．
∴∠DBC=∠BAD．
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB．
∴BD=ED．
（2）如圖2所示；連接OB．

∵AD是直徑，A平分∠BAC，
∴AD⊥BC，且BD=FC=3．
∵∠BAC=∠BOD，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，BF=3，
∴OB=5．
∵在Rt△BOF中，BF=3，OB=5，
∴OF=$\sqrt{O{B}^{2}-B{F}^{2}}$=4．
∴DF=1．
在Rt△BDF中，BF²+DF²=BD²．
∴BD=$\sqrt{10}$．
∴DE=$\sqrt{10}$．
使用OE=5-$\sqrt{10}$．

點評 本題主要考查的是三角形的內(nèi)心的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求得OB的長度是解題的關(guān)鍵．