Question

如圖，拋物線y=x²+mx+（m﹣1）與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，與y軸交于點(diǎn)C（0，c），且滿足x₁²+x₂²+x₁x₂=7．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上能不能找到一點(diǎn)P，使∠POC=∠PCO？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由

Answer 1

1）拋物線的解析式是y=x²-2x-3；（2）能；點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，-），（，-）．

【解析】（1）依題意：x₁+x₂=-m，x₁x₂=m-1，∵x₁²+x₂²+x₁x₂=7，∴（x₁+x₂）²-x₁x₂=7，

∴（-m）²-（m-1）=7，即m²-m-6=0，解得m₁=-2，m₂=3，∵c=m-1＜0，∴m=3不合題意

∴m=-2拋物線的解析式是y=x²-2x-3；

（2）能

如圖，設(shè)P是拋物線上的一點(diǎn)，連接PO，PC，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為D．

若∠POC=∠PCO，則PD應(yīng)是線段OC的垂直平分線，∵C的坐標(biāo)為（0，-3），

∴D的坐標(biāo)為（0，-），∴P的縱坐標(biāo)應(yīng)是-，令x²-2x-3=-，解得，x₁=，x₂=，因此所求點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，-），（，-）．