Question

（2007•福州質(zhì)檢）如圖，AB是圓O的直徑，AD是圓O的切線(xiàn)，C是圓O上的一點(diǎn)，且CD∥AB．
（1）求證：△ABC∽△CAD；
（2）若CD=

3

，sin∠CAD=

1

3

，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由圓周角定理、已知條件求得∠ACB=∠ADC=90°，由平行線(xiàn)的性質(zhì)推知∠DCA=∠CAB，則證得結(jié)論；
（2）通過(guò)解直角△ADC求得AC=3

3

．然后再由（1）中相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等知sin∠CAD=sin∠ABC=

AC

AB

，則易求AB=9

3

．

解答：（1）證明：如圖，∵AD是圓O的切線(xiàn)，
∴AD⊥AB．
又∵CD∥AB，
∴CD⊥AD，∠CAB=∠DCA．
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CDA=90°，
∴△ABC∽△CAD；

（2）解：如圖，∴在直角△ACD中，CD=

3

，sin∠CAD=

1

3

，
∴

CD

AC

=

1

3

，即AC=3CD=3

3

．
由（1）知，△ABC∽△CAD，
∴∠ABC=∠CAD，
∴sin∠ABC=sin∠CAD=

AC

AB

=

1

3

，
∴AB=3AC=9

3

．即AB的長(zhǎng)是9

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形．解答（2）題時(shí)，也可以根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度．