Question

（2010•紹興）（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，AE、BF 交于點(diǎn)O，∠AOF=90°．求證：BE=CF．
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、H、F、G分別在邊AB、BC、CD、DA上，
EF、GH交于點(diǎn)O，∠FOH=90°，EF=4．求GH的長．
（3）已知點(diǎn)E、H、F、G分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于點(diǎn)O，∠FOH=90°，EF=4．直接寫出下列兩題的答案：
①如圖3，矩形ABCD由2個全等的正方形組成，則GH=______；
②如圖4，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，則GH=______（用n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）關(guān)鍵是證出∠CBF=∠BAE，可利用同角的余角相等得出，從而結(jié)合已知條件，利用SAS可證△ABE≌△BCF，于是BE=CF；
（2）過A作AM∥GH，交BC于M，過B作BN∥EF，交CD于N，AMBN交于點(diǎn)O′，利用平行四邊形的判定，可知四邊形AMHG和四邊形BNFE是?，那么AM=GH，BN=EF，由于∠EOH=90°，結(jié)合平行線的性質(zhì)，可知∠AO′N=90°，那么此題就轉(zhuǎn)化成（1），求△BCN≌△ABM即可；
（3）①若是兩個正方形，則GH=2EF=8；②若是n個正方形，那么GH=n•4=4n．
解答：（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EAB+∠AEB=90°．
∵∠EOB=∠AOF=90°，
∴∠FBC+∠AEB=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF；

（2）解：方法1：如圖，過點(diǎn)A作AM∥GH交BC于M，
過點(diǎn)B作BN∥EF交CD于N，AM與BN交于點(diǎn)O′，
則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，
∴EF=BN，GH=AM，
∵∠FOH=90°，AM∥GH，EF∥BN，
∴∠NO′A=90°，
故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM=BN，
∴GH=EF=4；
方法2：過點(diǎn)F作FM⊥AB于M，過點(diǎn)G作GN⊥BC于N，
得FM=GN，由（1）得，∠HGN=∠EFM，
得△FME≌△GNH，
得FE=GH=4．

（3）①∵是兩個正方形，則GH=2EF=8，②4n．
點(diǎn)評：本題利用了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．