Question

（1998•海淀區(qū)）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，線段AF和⊙O切于點(diǎn)A，D是AF的中點(diǎn)，BF交⊙O于點(diǎn)E，過B點(diǎn)的切線與DE的延長線交于點(diǎn)C．
（1）求證：CD與⊙O相切．
（2）若tan∠BEC=2，BE+CD=8+5

5

，求四邊形ABCD的周長．

Answer 1

分析：（1）連接AE、OE、OD，可證△ADO≌△EDO，繼而可得∠DEO=90°，這樣可證得CD與⊙O相切．
（2）設(shè)AE=x，則BE=2x，根據(jù)切線的性質(zhì)，勾股定理和三角形的相似，表示出有關(guān)線段的長度，然后利用BE+CD=8+5

5

解出x，繼而求四邊形ABCD的周長．

解答：解：
連接AE、OE、OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，則∠AEF=90°，
在Rt△AEF中，
∵D是AF的中點(diǎn)，
∴DE=FD=AD，
在△ADO與△EDO中，

DE=AD OE=OA DO=DO

，
∴△ADO≌△EDO，
∵線段AF和⊙O切于點(diǎn)A，
∴∠DAO=∠DEO=90°，
∴CD與⊙O相切．
（2）
連接OC交EB于點(diǎn)H，
∵CE、CB為⊙O的切線，
∴OC⊥EB，
易得△BOC∽△HBC，
∴∠COB=∠CBE，
∵CE、CB是⊙O的切線，
∴∠CEB=∠EAB=∠CBE，
∵tan∠BEC=2，設(shè)AE=x，則BE=2x，
∴AB=

AE2+BE2

=

5

x，OB=

5

2

x，
∵∠COB=∠CBE=∠CEB，
∴CB=

5

x=CE，
在Rt△FAB中，AB=

5

x，AF=

5

2

x，
則AD=

5

4

x=DE，
∴CD=CE+ED=

5 5

4

x，
∵BE+CD=8+5

5

，
代入可得2x+

5 5

4

x=8+5

5

，
解得x=4，
∴四邊形ABCD的周長=AD+DC+BC+AB=2DC+AB=2×4×

5 5

4

+

5

×4=14

5

．

點(diǎn)評：本題屬于圓的綜合題，涉及了切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握各知識點(diǎn)，要求同學(xué)們仔細(xì)思考，將所學(xué)知識融會貫通．