Question

如圖，定長弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動（點C、D與點A、B不重合），M是CD的中點，過點D作DP⊥AB于點P．若CD=6，AB=8，則在運動過程中，圓心O到弦CD的距離為

 

，MP的最長距離是

 

．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理

專題：計算題

分析：連結(jié)OM，OD，如圖，由M是CD的中點，根據(jù)垂徑定理的推論得OM⊥CD，則根據(jù)勾股定理可計算出OM=

7

；由DP⊥AB，OM⊥CD得到∠OPD=∠OMD=90°，
根據(jù)圓周角定理可判斷點M、O、P、D在以O(shè)D為直徑的圓上，所以當(dāng)MP為此圓的直徑時最大，即MP的最長距離=OD=4．

解答：解：連結(jié)OM，OD，如圖，
∵M(jìn)是CD的中點，
∴OM⊥CD，
在Rt△ODM中，DM=

1

2

CD=3，OD=

1

2

AB=4，
∴OM=

OD2-DM2

=

7

；
∵DP⊥AB，OM⊥CD，
∴∠OPD=∠OMD=90°，
∴點M、O、P、D在以O(shè)D為直徑的圓上，
∴當(dāng)MP為此圓的直徑時最大，即MP的最長距離=OD=4．
故答案為

7

，4．

點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧；垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條�。幌业拇怪逼椒志�經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條�。黄椒窒宜鶎σ粭l弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條�。�也考查了勾股定理．