Question

如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，AB=2，M、N分別是邊AB、AC的中點，直線MN交⊙O于E、F兩點，BD∥AC交直線MN于點D．求出圖中線段DM上已有的一條線段的長．

Answer 1

分析：連接OA交MN于點G，則OA⊥BC，由三角形的中位線的性質(zhì)可得MN的長，易證得△BMD≌△AMN，有DM=MN，由相交弦定理得ME•MF=MA•MB，就可求得EM，DE的值．

解答：解：∵M，N分別是邊AB，AC的中點
∴MN∥BC，MN=

1

2

BC=1
又∵BD∥AC
∴∠DBA=∠A=60°
∵BM=AM，∠BMD=∠AMN
∴△BMD≌△AMN
∴DM=MN=1
連接OA交MN于點G，則OA⊥BC
∴OA⊥EF
∴EG=FG，MG=FN
由相交弦定理得：ME•MF=MA•MB
∴EM（EM+1）=1
解得EM=

5 -1

2

（EM=

- 5 -1

2

不合題意，舍去）
∴DE=DM-EM=

3- 5

2

∴DE（3-DE）=1
解得DE=

3- 5

2

（DE=

3+ 5

2

不合題意，舍去）．

點評：本題利用了三角形的中位線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程的解法求解．