【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,矩形OABC的頂點B的坐標為(4,2),D是OA的中點,OE⊥CD交BC于點E,點P從點O出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿射線OE運動.
(1)求直線OE的解析式;
(2)設(shè)以C,P,D,B為頂點的凸四邊形的面積為S,點P的運動時間為t(單位:秒),求S關(guān)于t的函數(shù)解析式,并寫出自變量t的取值范圍;
(3)設(shè)點N為矩形的中心,則在點P運動過程中,是否存在點P,使以P,C,N為頂點的三角形是直角三角形?若存在,請直接寫出t的值及點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x;(2)S=;(3)存在, t=時,P(,),t=時,P(2,2),t=時,P(3,3).
【解析】分析: (1)先求出∠COE=45°,進而求出CE=OC=2,即可得出結(jié)論;
(2)分點P在OM,在ME,OE的延長線上,利用面積的和差即可得出結(jié)論;
(3)分三種情況,利用勾股定理建立方程求出時間t,即可得出結(jié)論.
詳解:
(1)由題意得,OD=OC=2,
∵OE⊥CD,
∴OE平分∠COD,
∴∠COE=∠AOC=45°,
∴OC=CE=2,
∴E(2,2),設(shè)直線OE的解析式為y=kx,將點E坐標代入得,2=2k,
∴k=1,
∴直線OE的解析式為y=x;
(2)在Rt△COE中,根據(jù)勾股定理得,OE=2,
由題意得,以點C,P,D,B為頂點的圖形是四邊形,
∴t≠且t,
分三種情況:
設(shè)OE與CD的交點為M,
①當點P在OM上運動時,0≤t<,
S=S矩形OABC﹣S△POC﹣S△POD﹣S△DAB=8﹣﹣﹣2=﹣2t+6;
②當點P在ME上運動時,<t<,以點C,P,D,B為頂點的四邊形為凹四邊形,不符合題意,
③點P在OE的延長線上運動時,t>,
S=S△CDB+S△PCB==2t;
S=;
(3)存在,理由:PC2=(t)2+(2﹣t)2=4t2﹣4t+4,PN2=(2﹣t)2+(1﹣t)2=4t2﹣6t+5,NC2=5,
①當∠CPN=90°時,PC2+PN2=CN2,
∴4t2﹣4t+4+4t2﹣6t+5=5,
∴t=或t=;
∴P(,)或(2,2);
②當∠PNC=90°時,CN2+PN2=PC2,
∴5+4t2﹣6t+5=4t2﹣4t+4,
∴t=,
點P(3,3),
③當∠PCN=90°時,PC2+CN2=PN2,4t2﹣4t+4+5=4t2﹣6t+5,
∴t=﹣,此時不存在點P,
即:t=時,P(,),t=時,P(2,2),t=時,P(3,3).
點睛: 此題是一次函數(shù)綜合題,主要考查了角平分線的性質(zhì),待定系數(shù)法,幾何圖形的面積的計算方法,勾股定理,利用勾股定理建立方程是解本題的關(guān)鍵.
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【題目】郴州市正在創(chuàng)建“全國文明城市”,某校擬舉辦“創(chuàng)文知識”搶答賽,欲購買A、B兩種獎品以鼓勵搶答者.如果購買A種20件,B種15件,共需380元;如果購買A種15件,B種10件,共需280元.
(1)A、B兩種獎品每件各多少元?
(2)現(xiàn)要購買A、B兩種獎品共100件,總費用不超過900元,那么A種獎品最多購買多少件?
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【題目】如圖,點P是⊙O 外一點,PA切⊙O于點A,AB是⊙O的直徑,連接OP,過點B作BC∥OP交⊙O于點C,連接AC交OP于點D.
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)若PD=cm,AC=8cm,求圖中陰影部分的面積;
(3)在(2)的條件下,若點E是 的中點,連接CE,求CE的長.
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【題目】目前節(jié)能燈在城市已基本普及,某商場計劃購進甲、乙兩種節(jié)能訂共1200只,這兩種節(jié)能燈的進價、售價如下表:
(1)如何進貨,進貨款恰好為46000元?
(2)為確保乙型節(jié)能燈順利暢銷,在(1)的條件下,商家決定對乙型節(jié)能燈進行打折出售,且全部售完后,乙型節(jié)能燈的利潤率為20%,請同乙型節(jié)能燈需打幾折?
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【題目】在正方形ABCD中,過點B作直線l,點E在直線l上,連接CE,DE,CE=BC,過點C作CF⊥DE于點F,交直線l于點H,當l在如圖①的位置時,易證:BH+EH=CH(不需證明).
(1)當l在如圖②的位置時,線段BH,EH,CH之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想,并給予證明;
(2)當l在如圖③的位置時,線段BH,EH,CH之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想,不必證明.
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【題目】小明想要做以下的一個探究:小明準備了一個長方體的無蓋容器和A,B兩種型號的鋼球若干. 先往容器里加入一定量的水,如圖,水高度為30mm,水足以淹沒所有的鋼球.探究一:小明做了兩次實驗,先放入3個A型號鋼球,水面的高度漲到36mm;把3個A型號鋼球撈出,再放入2個B型號鋼球,水面的高度恰好也漲到36mm.由此可知A型號與B型號鋼球的體積比為____________;
探究二:小明把之前的鋼球全部撈出,然后再放入A型號與B型號鋼球共10個后,水面高度漲到57mm,問放入水中的A型號與B型號鋼球各幾個?
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【題目】如圖所示,一個點從數(shù)軸上的原點開始,先向右移動2個單位長度,再向左移動5個單位長度,可以看到終點表示是-3,已知A、B是數(shù)軸上的點,請參照下圖并思考,完成下列各題.
(1)如果點A表示的數(shù)-1,將點A向右移動4個單位長度,那么終點B表示的數(shù)是____.A、B兩點間的距離是__________.
(2)如果點A表示的數(shù)2,將點A向左移動6個單位長度,再向右移動3個單位長度,那么終點B表示的數(shù)是____.A、B兩點間的距離是____.
(3)如果點A表示的數(shù)m,將點A向左移動n個單位長度,再向左移動p個單位長度,那么請你猜想終點B表示的數(shù)是___.A、B兩點間的距離是______.
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【題目】已知,點C在直線 AB 上, ACa , BCb ,且 ab ,點 M是線段 AB 的中點,則線段 MC的長為( )
A.B.C.或D.或
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【題目】大熊山某農(nóng)家樂為了抓住“五一”小長假的商機,決定購進A、B兩種紀念品。若購進A種紀念品4件,B種紀念品3件,需要550元;若購進A種紀念品8件,B種紀念品5件,需要1050元。
(1)求購進A、B兩種紀念品每件各需多少元。
(2)若該農(nóng)家樂決定購進這兩種紀念品共100件,考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn),用于購買這100件紀念品的資金不少于7500元,但不超過7650元,那么該農(nóng)家樂共有幾種進貨方案。
(3)若銷售每件A種紀念品可獲利潤30元,每件B種紀念品可獲利潤20元,在第(2)問的各種進貨方案中,哪一種方案獲利最大?最大利潤是多少元。
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