Question

已知拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點A（0，1），B （4，3）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）過點B作BC⊥x軸，垂足為C，在對稱軸的左側且平行于y軸的直線交線段AB于點N，交拋物線于點M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點M的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點A（0，1），B （4，3），
∴，
解得，
所以，拋物線的函數(shù)解析式為y=-x²+x+1；

（2）如圖，過點B作BC⊥x軸于C，過點A作AD⊥OB于D，
∵A（0，1），B （4，3），
∴OA=1，OC=4，BC=3，
根據(jù)勾股定理，OB===5，
∵∠OAD+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOC=90°，
∴∠OAD=∠BOC，
又∵∠ADO=∠OCB=90°，
∴△AOD∽△OBC，
∴==，
即==，
解得OD=，AD=，
∴BD=OB-OD=5-=，
∴tan∠ABO===；

（3）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)），
則，
解得，
所以，直線AB的解析式為y=x+1，
設點M（a，-a²+a+1），N（a，a+1），
則MN=-a²+a+1-a-1=-a²+4a，
∵四邊形MNCB為平行四邊形，
∴MN=BC，
∴-a²+4a=3，
整理得，a²-4a+3=0，
解得a₁=1，a₂=3，
∵MN在拋物線對稱軸的左側，拋物線的對稱軸為直線x=-=，
∴a=1，
∴-1²+×1+1=，
∴點M的坐標為（1，）．
分析：（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式求出b、c，即可得解；
（2）過點B作BC⊥x軸于C，過點A作AD⊥OB于D，根據(jù)點A、B的坐標求出OA、OC、BC的長，再利用勾股定理列式求出OB，然后求出△AOD和△OBC相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出AD、OD然后求出BD，再根據(jù)銳角的正切值等于對邊比鄰邊列式計算即可得解；
（3）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，然后根據(jù)直線與拋物線的解析式設出點M、N得到坐標并表示出MN，再根據(jù)平行四邊形對邊相等列式方程求解即可．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，勾股定理的應用，相似三角形的判定與 性質，銳角三角函數(shù)，平行四邊形的對邊平行且相等的性質，綜合性較強，但難度不大，（2）作出輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵，（3）表示出MN的長是解題的關鍵．