Question

（1）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N分別是菱形ABCD四條邊上的點(diǎn)，若AE=BF=CM=DN，求證：四邊形EFMN是平行四邊形；
（2）如圖2，當(dāng)E，F(xiàn)，M，N分別是菱形ABCD四條邊的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形EFMN的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．
∵AE=BF=CM=DN，
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴△AEN≌△CMF，△BFE≌△DNM．
∴EN=MF，EF=MN．
∴四邊形EFMN是平行四邊形．

（2）四邊形EFMN是矩形．
證明：連接AC、BD，
∵AC⊥BD，
∴E，F(xiàn)，M，N分別是菱形ABCD四條邊的中點(diǎn)．
∴NE∥BD，MF∥BD．
∴NE∥MF．
同理，得：NM∥AC，EF∥AC．
∴NM∥EF．
∴四邊形EFMN是平行四邊形．
∵NE∥BD，AC⊥BD，
∴NE⊥AC．
∵NM∥AC，
∴NE⊥NM．
∴平行四邊形EFMN是矩形．
分析：（1）運(yùn)用菱形的性質(zhì)，證明三角形全等，利用三角形全等的性質(zhì)證明EN=MF，EF=MN，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形得證．
（2）首先連接AC、BD．要證四邊形EFMN是矩形，只要證得NE⊥NM即可．先由菱形的對(duì)角線互相垂直，得AC⊥BD，再結(jié)合題意證得四邊形EFMN是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)，易證NE⊥NM，從而證得四邊形EFMN是矩形．
點(diǎn)評(píng)：平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．