【題目】如圖1,二次函數(shù)y= x2+bx+c與一次函數(shù)y= x﹣3的圖象都經(jīng)過x軸上點(diǎn)A(4,0)和y軸上點(diǎn)B(0,﹣3),過動點(diǎn)M(m,0)(0<m<4)作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)P.

(1)求b,c的值;
(2)點(diǎn)M在運(yùn)動的過程中,能否使△PBC為直角三角形?如果能,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不能,請說明理由;
(3)如圖2,過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn),設(shè)△PCD的面積為S1 , △ACM的面積為2 , 若 = ,
①求m的值;
②如圖3,將線段OM繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到OM′,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°),連接M'A、M'B,求M'A+ M'B的最小值.

【答案】
(1)

解:由題意,

解得


(2)

解:若△PBC為直角三角形,顯然∠PCB≠90°.

①當(dāng)∠PBC=90°時(如圖1﹣1中),作PK⊥y軸于K,則∠PBK=∠BAO=90°﹣∠ABO,

∴tan∠PBK= = ,

解得m= 或0(舍棄),

∴P( ,﹣ ),

②當(dāng)∠BPC=90°時(如圖1﹣2中),BP∥x軸,

當(dāng)y=﹣3時, m2 m﹣3=﹣3,解得m=3或0(舍棄),

∴P(3,﹣3),

綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)( ,﹣ )或(3,﹣3)


(3)

解:①如圖2中,

∵PD⊥AB,PM⊥OA,

∴∠PDC=∠AMC,

∵∠PCD=∠ACM,

∴△PCD∽△ACM,

=( 2= ,

=

∵CM∥OB,

= ,

∴AC= (4﹣m),

∵拋物線的解析式為y= x2 x﹣3,

∴PC= m﹣3﹣( m2 m﹣3)=﹣ m2+3m,

= ,

解得m=2或4(舍棄),

∴m=2.

②如圖3中,在y軸上取一點(diǎn)E,使得OE= ,連接M′E,AE.

∵OM′=2,OEOB= ×3=4,

∴OM2=OEOB,

= ,

∵∠M′OE=∠BOM′,

∴△M′OE∽△BOM′,

= = ,

∴M′E= BM′,

∴AM′+ BM′=AM′+M′E,

∴當(dāng)A、M′、E共線時,AM′+ BM′的值有最小值=AE= =


【解析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題.(2)分兩種情形討論即可.①當(dāng)∠PBC=90°時(如圖1﹣1中),作PK⊥y軸于K.②當(dāng)∠BPC=90°時(如圖1﹣2中),BP∥x軸.分別列出方程即可解決問題.(3)①由△PCD∽△ACM,可得 =( 2= ,推出 = ,由CM∥OB,推出 = ,推出AC= (4﹣m),由拋物線的解析式為y= x2 x﹣3,可得PC= m﹣3﹣( m2 m﹣3)=﹣ m2+3m,列出方程,即可解決問題.②如圖3中,在y軸上取一點(diǎn)E,使得OE= ,連接M′E,AE.由OM′=2,OEOB= ×3=4,推出OM2=OEOB,推出 = ,由∠M′OE=∠BOM′,可知△M′OE∽△BOM′,推出 = = ,推出M′E= BM′,所以AM′+ BM′=AM′+M′E,所以當(dāng)A、M′、E共線時,AM′+ BM′的值有最小值.
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的應(yīng)用是解答本題的根本,需要知道增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小;測高:測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】服裝店10月份以每套500元的進(jìn)價購進(jìn)一批羽絨服,當(dāng)月以標(biāo)價銷售,銷售額14000元,進(jìn)入11月份搞促銷活動,每件降價50元,這樣銷售額比10月份增加了5500元,售出的件數(shù)是10月份的1.5倍.

(1)求每件羽絨服的標(biāo)價是多少元;

(2)進(jìn)入12月份,該服裝店決定把剩余的羽絨服按10月份標(biāo)價的八折銷售,結(jié)果全部賣掉,而且這批羽絨服總獲利不少于12700元,問這批羽絨服至少購進(jìn)多少件?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】餃子(如圖1)源于古代的角子,餃子原名“嬌耳”,相傳是我國醫(yī)圣張仲景首先發(fā)明的,距今已有一千八百多年的歷史了.有一句民謠叫“大寒小寒,吃餃子過年.”包餃子時,將面團(tuán)揉成長條狀,后用刀切或用手揪成一個個小面團(tuán),這些小面團(tuán)就是箕(jì)子(如圖2).搟皮時,將箕子壓扁后搟成圓形面皮,一個面箕子可以搟出一個餃子皮(如圖3),就可以用來包餃子了.

中國北方,尤其是在京、津地區(qū)流行的一種面食﹣合子(如圖4),含有團(tuán)團(tuán)圓圓的美好寓意.用兩層餃子皮在中間加一層餡,就可以包成一個合子.北方有風(fēng)俗曰:初一的餃子、初二的面、初三的合子往家轉(zhuǎn).

小亮的媽媽喜愛研究中華美食,自己動手經(jīng)常給家人做出色香味俱佳的食品.媽媽在傳承古人的做法的同時,也進(jìn)行了加工創(chuàng)新.在每次包餃子臨近結(jié)束時,如果餃子餡少了,餃子皮多了,這時媽媽會停止包餃子,改包合子,這樣既不浪費(fèi)食材,家人既吃到了餃子又吃到了合子.

這天,媽媽從廚房走到書房,對正在學(xué)習(xí)的小亮說:“媽媽剛才在廚房包餃子,結(jié)果面和多了,做了88個餃子箕,最后包了餃子和合子一共是81個.”

小亮說:“媽媽,我能用剛剛學(xué)到的列一元一次方程解應(yīng)用題的知識和方法得出您包的餃子和合子分別是多少.”

請你寫出小亮同學(xué)的解答過程.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,D為⊙O上一點(diǎn),過 上一點(diǎn)T作⊙O的切線TC,且TC⊥AD于點(diǎn)C.
(1)若∠DAB=50°,求∠ATC的度數(shù);
(2)若⊙O半徑為2,CT= ,求AD的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】有一塊直角三角板DEF放置在ABC上,三角板DEF的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點(diǎn)BCABC中,∠A=50°,求∠DBA+DCA的度數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖為2009年到2015年中關(guān)村國家自主創(chuàng)新示范區(qū)企業(yè)經(jīng)營技術(shù)收入的統(tǒng)計(jì)圖.下面四個推斷:

①2009年到2015年技術(shù)收入持續(xù)增長;
②2009年到2015年技術(shù)收入的中位數(shù)是4032億;
③2009年到2015年技術(shù)收入增幅最大的是2015年;
④2009年到2011年的技術(shù)收入增長的平均數(shù)比2013年到2015年技術(shù)收入增長的平均數(shù)大.
其中,正確的是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.③④

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】計(jì)算:( 1+2cos45°+| ﹣1|﹣(3.14﹣π)0

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)O在邊AC上,⊙O與△ABC的邊BC,AB分別相切于C,D兩點(diǎn),與邊AC交于E點(diǎn),弦CF與AB平行,與DO的延長線交于M點(diǎn).
(1)求證:點(diǎn)M是CF的中點(diǎn);
(2)若E是 的中點(diǎn),BC=a,寫出求AE長的思路.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,CAAB,垂足為 AAB=24,AC=12,射線 BMAB,垂足為 B, 一動點(diǎn) E A點(diǎn)出發(fā)以 3 厘米/秒沿射線 AN 運(yùn)動,點(diǎn) D 為射線 BM 上一動點(diǎn), 隨著 E 點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動,且始終保持 EDCB,當(dāng)點(diǎn) E 經(jīng)過______秒時,△DEB 與△BCA 全等.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案