Question

如圖，在等腰梯形AECD中，AE∥DC，∠DAE=60°，點B是AE的中點，AC⊥CE.求證：四邊形ABCD是菱形.

 

Answer 1

【答案】

證明見解析

【解析】證明：∵四邊形是等腰梯形

∴  =60°--------3分

∵ AC⊥CE，點B是AE的中點

∴  AB=BC=BE--------6分

∴-------8分

∴  AD//BC-------9分

∵  AB//CD

∴  四邊形ABCD是平行四邊形--------11分

又AB=BC

∴  四邊形ABCD是菱形． --------13分

此題方法很多，添加輔助線也可，如圖，只要有理有據(jù)，相應(yīng)給分即可。

證法2：連結(jié),-------1分

∵四邊形是等腰梯形，

∴  =60°--------3分

∵ AC⊥CE，點B是AE的中點

∴  AB=BC=BE--------6分

∴△CBE是等邊三角形．

∵

∴△ABD是等邊三角形．--------9分

同理，由BD=BC, 得△DBC是等邊三角形--------11分

∴AB=BC=CD=AD-． 

   

∴四邊形ABCD是菱形．--------13

(也可以證對角線互相垂直+平行四邊形)

證法3：設(shè)線段和的延長線交于點．-------1分

∵四邊形是等腰梯形，

∴  △AEF是等邊三角形， --------4分

∵  ，

∴  FG=CE. --------6分

∵點B是AE的中點

∴BC是△AEF的中位線且AB=BC=BE

∴AD//BC．--------9分

∴  四邊形ABCD是平行四邊形--------11分

又AB=BC

∴  四邊形ABCD是菱形．--------13分

 (也可以證四邊相等)

根據(jù)等腰梯形同一底上的角相等，可得∠DAB=∠E=60°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得AB=BC=BE，則易得四邊形ABCD是平行四邊形，即可得四邊形ABCD是菱形．