Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2，∠C=60°，AE⊥BD于點E，F(xiàn)是CD的中點，連接EF．
（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；
（2）若點G是BC邊上的一個動點，當(dāng)點G在什么位置時，四邊形DEFG是矩形？并求出這個矩形的周長；
（3）在BC上能否找到另外一點G′，使四邊形DE G′F的周長與（2）中矩形DEFG的周長相等，請簡述你的理由．

Answer 1

（1）證明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2，
∴四邊形ABCD為等腰梯形，∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°，
又∵△ABD為等腰三角形，AE⊥BD，
∴∠EAD=∠BAD=60°，BE=DE，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°-∠EAD=30°，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADE=90°，
∴AE∥DF，
∵E、F兩點為BD、CD邊的中點，
∴EF∥BC∥AD，
∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）解：延長AE交BC于G，連接FG，
∵BE=ED，AE∥CD，∴AD=BG=GC，
∴G點為BC的中點，
∴FG∥DE，
而∠EDF=90°，
∴四邊形DEFG是矩形，
在Rt△DEF中，DE=，DF=1，
∴矩形的周長=2+2；

（3）解：可以．
當(dāng)CG′=CF=1時，△G′EF與△DEF關(guān)于直線EF軸對稱，
DF=FG′，DE=EG′，
則四邊形DEG′F的周長=2+2；
周長不變．

分析：（1）由已知可得四邊形ABCD為等腰梯形，△ABD為等腰三角形，∠C=60°，可知∠BAD=∠ADC=120°，又AE⊥BD，故∠EAD=∠BAD=60°，BE=DE，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，故∠BDC=∠ADC-∠ADE=90°，可證AE∥DF，而E、F兩點為BD、CD邊的中點，可證EF∥BC∥AD，故四邊形AEFD是平行四邊形；
（2）延長AE交BC于G，可證G點為BC的中點，此時四邊形DEFG是矩形，解Rt△DEF，可求DE，DF，根據(jù)矩形的性質(zhì)求周長；
（3）當(dāng)CG′=CF=1時，△G′EF與△DEF關(guān)于直線EF軸對稱，可滿足題意．
點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形，矩形的判斷．關(guān)鍵是根據(jù)題意，推出特殊三角形．