Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點D，AM⊥CD于點M，連接AD，BD.

（1）求證：∠ADC=∠ABD；
（2）若AD=2 ，⊙O的半徑為3，求MD的長.

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，如圖：

∵直線CD切⊙O于點D，∴∠CDO=90°，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，

∴∠ADC+∠ADO=∠ADO+∠ODB=90°，∴∠ADC=∠ODB，

∵OB=OD，∴∠ODB=∠ADB，

∴∠ADC=∠ABD

（2）解：∵⊙O的半徑為3，AB=6，

∵∠ADB=90°，∴DB═ ，

∵∠AMD=∠ADB=90°，∠ADC=∠ABD，

∴△ADM∽△ABD，

∴ ，即

∴DM=2

【解析】（1）利用切線的性質(zhì)定理，需連接OD,再利用直徑所對圓周角是直角，可證出結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合垂直，可證出△ADM∽△ABD，對應邊成比例可求出DM.