Question

（1）兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和三角形EDA如圖1放置，點(diǎn)B，A，D在同一條直線(xiàn)上．那么點(diǎn)C，A，E在同一條直線(xiàn)上；
①在圖1中，作∠ABC的平分線(xiàn)BF，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BF，垂足為F；
②猜想：線(xiàn)段BF，CE的關(guān)系，結(jié)論是：______．
（2）將（1）中的“等腰直角三角形”換成“直角三角形”，其它條件不變，如圖2，連接CE，請(qǐng)問(wèn)你猜想的BF與CE的關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）畫(huà)圖如圖，比較簡(jiǎn)單；（2）結(jié)論是BF⊥CE，BF=CE．過(guò)E作EH∥BD交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，容易證明△HCE等腰直角三角形，由此可以得到∠HCE=∠HEC=45°，而根據(jù)已知條件可以得到∠FBC=45°，∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°，這樣就可以得到BF⊥CE，然后根據(jù)已知條件和勾股定理計(jì)算證明BF=，CE=BD，從而證明了BF=CE．從證明過(guò)程可以看出無(wú)論三角形是等腰直角三角形還是普通直角三角形，對(duì)題目的結(jié)果沒(méi)有影響．
解答：解：（1）①畫(huà)圖
②結(jié)論是：BF⊥CE，BF=CE．

（2）如圖，①證明BF=CE
∵BF為∠ABC的平分線(xiàn)，∠ABC=90°
∴∠CBF=∠ABF=45°
∵DF⊥BF
∴∠F=90°
∵點(diǎn)B，A，D在同一條直線(xiàn)上，△BFD為直角三角形
∴cos∠FBD=
∴BF=
又∵Rt△ABC≌Rt△EDA
∴BC=AD，BA=DE
設(shè)BC=AD=a，BA=DE=b
∴BD=a+b
∴BF=
過(guò)E作EH∥BD交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于H
∵∠CBA=90°，∠ADE=90°
∴∠CBA=∠ADE
∴CH∥DE
∴四邊形BHED為矩形
∴BH=DE=b，HE=BD=a+b
∴CH=a+b
∴△HCE等腰直角三角形
由勾股定理，得CE=
∴BF=CE
②證明BF⊥CE
∵Rt△CHE是等腰直角三角形
∴∠HCE=∠HEC=45°
∵∠FBC=45°
∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°
∴BF⊥CE
∴BF⊥CE，BF=CE
仍然成立．
點(diǎn)評(píng)：此題把直角三角形，等腰直角三角形，勾股定理等知識(shí)結(jié)合起來(lái)，綜合利用它們解題，有一定的難度，要求學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力比較強(qiáng)．