Question

如圖1，在第一象限內，直線與過點且平行于軸的直線相交于點，半徑為的⊙與直線、軸分別相切于點、，且與直線分別交于不同的、兩點.

（1）當點A的坐標為時，

① 填空：=   ， =    ，=    ；

②如圖2，連結，交直線于，當時，試說明以、 、 、為頂點的四邊形是等腰梯形；

（2）在圖1中，連結并延長交⊙于點，試探索：對不同的取值，經過、、三點的拋物線，的值會變化嗎？若不變，求出的值；若變化，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）① ，， ； 

② 連結、、、、MQ（如圖1），

切⊙于， ∥軸

∴，且

又∵

∴四邊形是平行四邊形

∴∥        

在中，，∴

依題意，在四邊形中，，

∴   ∴

∴、、在同一直線（直徑）上        

∴∥    且，又  ∴

又，為等邊三角形，∴

∴ 

∴四邊形是等腰梯形                                 

注：也可證明.

（2）的值不變. 理由如下：    

如圖，與交于點，連結、，

∵是⊙直徑         ∴ 

又∵     ∴   

 ∴       ∴        

  即 ………………（Ⅰ）

（注：本式也可由∽得到）

∵在平移中，圖形的形狀及特征保持不變，

拋物線的圖象可通過的圖象平移得到.

∴可以將問題轉化為：點在軸上，點、在軸上進行探索（如圖4）                     

由圖形的對稱性得點為拋物線頂點，依題意設，則經過、、三點的拋物線為：，由，及（Ⅰ）式得：，

∴      ∴，   解得.

故的值不變 . 

【解析】（1）由點A在直線l上，得到p=1；點A在直線y=mx上，得到 ,解Rt△OBA得到∠AOE=60°；

（2）連接TM，ME，EN，ON，根據切線的性質得到QE⊥x軸，QT⊥OT，由QE⊥MN，得到MF=NF，而r=2，EF=1，則四邊形QNEM為平行四邊形，即QN∥ME；同時有△QEN為等邊三角形，則∠NQE=60°，∠QNF=30°；在四邊形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，可求出∠TQE=120°，于是有∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°，即T、Q、N三點共線，得到TN為直徑；得到∠TMN=90°，得到TN∥ME，所以∠MTN=60°=∠TNE，得到以T、M、E、N為頂點的四邊形是等腰梯形；

（3）連DM，ME，根據垂徑定理和圓周定理的推論得到∠DME=90°，DM垂直平分MN，所以Rt△MFD∽Rt△EFM，得到MF²=EF•FD，設D（h，k），（h＞0，k=2r），則過M、D、N三點的拋物線的解析式為：y=a（x-h）²+k，令y=1，得到x₁，x₂，即可得MF、MN，再由MF²=EF•FD得到a=-1．