Question

18．如圖，⊙O的半徑OC與直徑AB垂直，點(diǎn)P在OB上，CP的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D，在OB的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)E，使ED=EP．
（1）求證：ED是⊙O的切線(xiàn)；
（2）當(dāng)P為OE的中點(diǎn)，且OC=4時(shí)，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）首先連接OD，ED=EP，易證得∠APD=∠ADP，又由⊙O的半徑OC與直徑AB垂直，可證得OD⊥ED，即可判定ED是⊙O的切線(xiàn)；
（2）由S_陰影=S_△ODE-S_扇形，即可求得答案．

解答 （1）證明：連接OD，
∵OD是圓的半徑，
∴OD=OC．
∴∠CDO=∠DCO．
∵OC⊥AB，
∴∠COP=90°，
∵在Rt△OPC中，∠CPO+∠PCO=90°，
∵ED=EP，
∴∠EDP=∠EPD=∠CPO，
∴∠EDO=∠EDP+∠CDO=∠CPO+∠DCO=90°．
∴ED⊥OD，
即ED是圓的切線(xiàn)；

（2）解：∵P為OE的中點(diǎn)，ED=EP，且由（1）知△ODE為Rt△，
∴PE=PD=ED，
∴∠E=60°，
∵OD=OC=4，
∴ED=$\frac{OD}{tan60°}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴S_陰影=S_△ODE-S_扇形=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-$\frac{30π×{4}^{2}}{360}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-$\frac{4π}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}-4π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線(xiàn)的判定以及扇形面積的求解．注意準(zhǔn)確作出輔助線(xiàn)是解此題的關(guān)鍵．