Question

如圖：△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°
求證：（1）△PAC∽△BPD；
（2）若AC=3，BD=1，求CD的長．

Answer 1

證明：（1）∵△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°，∴∠APC+∠BPD=45°，
又∠PAB+∠PBA=45°，∠PBA+∠PBD=45°，∴∠PAB=∠PBD，∠BPD=∠PAC，
∵∠PCA=∠PDB，∴△PAC∽△BPD；

（2）∵=，PC=PD，AC=3，BD=1
∴PC=PD=，
∴CD==．
分析：（1）由△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°，可得∠PAB=∠PBD，∠BPD=∠PAC，從而即可證明；
（2）根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可求出PC=PD=，再由勾股定理即可求解．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質及等腰直角三角形，屬于基礎題，關鍵是掌握相似三角形的判定方法．