Question

（1997•陜西）如圖，已知⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)C，AB為兩圓外公切線，切點(diǎn)為A，B，若⊙O₁的半徑為1，⊙O₂的半徑為3，則圖中陰影部分的面積是（　�。�

• A．4

  3

  -

  5

  6

  π
• B．4

  3

  -

  11

  6

  π
• C．8

  3

  -

  11

  6

  π
• D．8

  3

  -

  5

  3

  π

Answer 1

分析：首先連接O₁A，O₂B，O₁O₂，過(guò)點(diǎn)O₁作O₁D⊥O₂B于點(diǎn)D，易求得O₁D的長(zhǎng)，利用三角函數(shù)的知識(shí)求得∠O₂的度數(shù)，繼而可求得梯形與扇形的面積，則可求得答案．

解答：解：連接O₁A，O₂B，O₁O₂，過(guò)點(diǎn)O₁作O₁D⊥O₂B于點(diǎn)D，
∵⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)C，AB為兩圓外公切線，切點(diǎn)為A，B，⊙O₁的半徑為1，⊙O₂的半徑為3，
∴四邊形AO₁DB是矩形，
∴O₁A=BD，
∴O₁A=1，O₂B=3，O₁O₂=1+3=4，
∴O₂D=3-1=2，
∴O₁D=

O1O22-O2D2

=2

3

，
∴tan∠O₂=

O1D

O2D

=

3

，
∴∠O₂=60°，
∴∠AO₁O₂=180°-∠O₂=120°，
∴S_梯形ABO2O1=

1

2

（O₁A+O₂B）•O₁D=

1

2

×（1+3）×2

3

=4

3

，S_扇形AO1C=

120

360

×π×1²=

1

3

π，S_扇形BO2C=

60

360

×π×3²=

3

2

π，
∴S_陰影=S_梯形ABO2O1-S_扇形AO1C-S_扇形BO2C=4

3

-

11

6

π．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相切兩圓的性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．