Question

如圖，以Rt△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊BC于點(diǎn)D，其中∠CAB=90°，E為AC的中點(diǎn)，且AB=4cm，AC=3cm．
（1）求tan∠CAD．
（2）連接OE，請你說明OE與AD的位置關(guān)系．
（3）求證：DE是⊙O的切線．

Answer 1

解：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠B+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠CAD=∠B；
又∵AB=4cm，AC=3cm，
∴tan∠CAD=tan∠B==．

（2）∵∠CDA=90°，E為AC的中點(diǎn)，
∴EA=ED，
∴點(diǎn)E在AD的中垂線上；
∵AO=DO，
∴點(diǎn)O也在AD的中垂線上，
∴OE為AD的中垂線，
∴AD⊥OE．

（3）在△EOA和△EOD中；
AE=DE，AO=DO，EO=EO，
∴△EOA≌△EOD，
∴∠EDO=∠EAO=90°；
∵OD過圓心O，
∴DE為⊙O的切線．
分析：（1）由已知可求得∠CAD=∠B，則tan∠CAD=tan∠B=；
（2）由EA=ED，OA=OD可得到點(diǎn)E，O均在AD的中垂線上，則OE為AD的中垂線，即AD⊥OE；
（3）要證明DE是⊙O的切線只要證明∠EDO=90°即可．
點(diǎn)評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．