【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+(a+4)x+a=0.

(1)求證:無論a為任何實數(shù),此方程總有兩個不相等的實數(shù)根;

(2)拋物線與x軸的一個交點的橫坐標(biāo)為,其中a≠0,將拋物線C1向右平移個單位,再向上平移個單位,得到拋物線C2.求拋物線C2的解析式;

(3)點A(m,n)和B(n,m)都在(2)中拋物線C2上,且A、B兩點不重合,求代數(shù)式2m3﹣2mn+2n3的值.

【答案】(1)見解析;(2)y=2x2﹣3.(3)

【解析】

試題分析:(1)先求出判別式的值,根據(jù)>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根,即可得出結(jié)論;

(2)將點(,0)代入拋物線C1解析式,得出a的值,從而確定C1解析式,根據(jù)平移的規(guī)律可得出拋物線C2的解析式;

(3)將點A(m,n)和B(n,m)代入拋物線C2的解析式,通過整理、化簡可得出代數(shù)式2m3﹣2mn+2n3的值.

(1)證明:∵△=(a+4)2﹣4×2a=a2+16,

而a2≥0,

a2+16>0,即>0.

無論a為任何實數(shù),此方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)當(dāng)時,y=0,

2+(a+4)×+a=0,

a2+3a=0,即a(a+3)=0,

a≠0,

a=﹣3.

拋物線C1的解析式為y=2x2+x﹣3=2(x+2

拋物線C1的頂點為(﹣,﹣),

拋物線C2的頂點為(0,﹣3).

拋物線C2的解析式為y=2x2﹣3.

(3)點A(m,n)和B(n,m)都在拋物線C2上,

n=2m2﹣3,m=2n2﹣3,

n﹣m=2(m2﹣n2),

n﹣m=2(m﹣n)(m+n),

(m﹣n)[2(m+n)+1]=0,

A、B兩點不重合,即m≠n,

2(m+n)+1=0,

m+n=

2m2=n+3,2n2=m+3,

2m3﹣2mn+2n3=2m2m﹣2mn+2n2n=(n+3)m﹣2mn+(m+3)n=3(m+n)=

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