Question

矩形ABCD中，AD=10，AB=6，將矩形ABCD折疊，折痕為EF
（1）當A與B重合時（如圖1），EF=______；
（2）當直線EF過點D時（如圖2），點A的對應點A′落在線段BC上，求線段EF的長；
（3）如圖3，點A的對應點A′落在線段BC上，E點在線段AB上（E不與A、B重合），同時F點也在線段AD上（F不與A、D重合），則A′B的長的范圍是______；
（4）如圖4，矩形沿直線EF折疊后，A點的對應點A′落在線段DC上，且A′D=2，求折痕EF的長．

Answer 1

解：（1）如圖1，當A與B重合時，D與C重合，根據折疊的性質，可知EF=AD=10；

（2）如圖2，∵將矩形ABCD折疊，折痕為EF，點A的對應點A′落在線段BC上，
∴A′D=AD=10，∠A=∠EA′D=90°．
在Rt△A′DC中，∵DC=AB=6，A′D=10，∠C=90°，
∴A′C==8，
∴A′B=BC-A′C=10-8=2．
設AE=x，則BE=6-x，A′E=x．
在直角△A′BE中，∵BE²+A′B²=A′E²，
∴（6-x）²+2²=x²，
解得x=．
在Rt△AEF中，EF===；

（3）如圖3①，當F、D重合時，A′B的值最��；
根據折疊的性質知：AF=A′F=10；
在Rt△A′FC中，A′F=10，F(xiàn)C=6，則A′C=8，
此時A′B=10-8=2；
如圖3②，當E、B重合時，A′B的值最大；
此時A′B=AB=6．
所以A′B的長的范圍是2＜A′B＜6；

（4）如圖4，設A′B′與BC交于點G，F(xiàn)D=x，則AF=A′F=10-x，
在RT△A′DF中，∵FD=x，A′F=10-x，A′D=2，∠D=90°，
∴（10-x）²=x²+2²，
解得x=4.8．
則FD=4.8，則AF=A′F=5.2．
在△A′DF與△GCA′中，
∵，
∴△A′DF∽△GCA′，
∴A′D：GC=DF：CA′=A′F：A′G，
∴2：GC=4.8：4=5.2：A′G，
解得GC=，A′G=，
∴B′G=A′B′-A′G=6-=．
在△B′GE與△CGA′中，
，
∴△B′GE≌△CGA′，
∴EG=A′G=，
∴CE=CG+EG=6，
∴EF===．
故答案為10，2＜A′B＜6．
分析：（1）當A與B重合時，D與C重合，根據折疊的性質，可知EF=AD=10；
（2）根據折疊的性質得到A′D=AD=10，∠A=∠EA′D=90°，在Rt△A′DC中利用勾股定理可計算出A′C=8，設AE=x，則BE=6-x，在Rt△EBA′中，利用勾股定理得（6-x）²+2²=x²，解得x=，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理即可計算出EF；
（3）A′B最小時，F(xiàn)、D重合，由折疊的性質知：AF=A′F，在Rt△A′FC中，利用勾股定理可求得A′C的長，進而可求得A′B的值，即A′B的最小值；A′B最大時，E、B重合，根據折疊的性質即可得到AB=BA′=6，即A′B的最大值為6；由此得到A′B的取值范圍；
（4）設FD=x，則AF=10-x，在RT△A′DF中利用勾股定理可解出x的值，再由△A′DF∽△GCA′，利用相似三角形的性質可得出CG、A′G的長度，得出B′G，再由△B′GE≌△CGA′，利用全等三角形的性質可得出EG的長度，然后利用勾股定理求出EF．
點評：本題考查了折疊的性質：折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，綜合性較強，有一定難度．