【題目】(本題滿分10分) 若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開(kāi)口方向都相同,則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為兄弟二次函數(shù)”.

(1)請(qǐng)寫出兩個(gè)為兄弟二次函數(shù)的函數(shù);

(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2﹣4mx+2m2+1y2=ax2+bx+5,其中y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1),y1+y2y1兄弟二次函數(shù)”,求函數(shù)y2的表達(dá)式,并直接寫出當(dāng)0≤x≤3時(shí),y2的最大值

【答案】(1)答案不唯一,頂點(diǎn)坐標(biāo)相同,a符號(hào)相同3分;(2)y2=5x2-10x+5,y2的最大值為20.

【解析】試題分析:(1)只需任選一個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn),同號(hào)兩數(shù)作為二次項(xiàng)的系數(shù),用頂點(diǎn)式表示兩個(gè)為同簇二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式即可.

2)由y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,1)可以求出m的值,然后根據(jù)y1+y2y1同簇二次函數(shù)就可以求出函數(shù)y2的表達(dá)式,然后將函數(shù)y2的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式,在利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問(wèn)題.

解:(1)設(shè)頂點(diǎn)為(h,k)的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=ax﹣h2+k

當(dāng)a=2,h=3,k=4時(shí),

二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2x﹣32+4

∵20,

該二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上.

當(dāng)a=3,h=3,k=4時(shí),

二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3x﹣32+4

∵30,

該二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上.

兩個(gè)函數(shù)y=2x﹣32+4y=3x﹣32+4頂點(diǎn)相同,開(kāi)口都向上,

兩個(gè)函數(shù)y=2x﹣32+4y=3x﹣32+4同簇二次函數(shù)

符合要求的兩個(gè)同簇二次函數(shù)可以為:y=2x﹣32+4y=3x﹣32+4

2∵y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,1),

∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1

整理得:m2﹣2m+1=0

解得:m1=m2=1

∴y1=2x2﹣4x+3

=2x﹣12+1

∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5

=a+2x2+b﹣4x+8

∵y1+y2y1同簇二次函數(shù)

∴y1+y2=a+2)(x﹣12+1

=a+2x2﹣2a+2x+a+2+1

其中a+20,即a﹣2

解得:

函數(shù)y2的表達(dá)式為:y2=5x2﹣10x+5

∴y2=5x2﹣10x+5

=5x﹣12

函數(shù)y2的圖象的對(duì)稱軸為x=1

∵50

函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上.

當(dāng)0≤x≤1時(shí),函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上,

∴y2x的增大而減小,

當(dāng)x=0時(shí),y2取最大值,最大值為0﹣12=5,

當(dāng)1≤x≤3時(shí),函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上,

∴y2x的增大而增大,

當(dāng)x=3時(shí),y2取最大值,

最大值為53﹣12=20

綜上所述:當(dāng)0≤x≤3時(shí),y2的最大值為20

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(2)設(shè)BAC=,BCE=

如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng),則,之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由;

當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng),則,之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論,不必說(shuō)明理由.

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