Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,正方形ABCO的邊長為3,點O為坐標原點,點A、C分別在x軸、y軸上,點B在第一象限內直線y=kx+1分別與x軸、y軸、線段BC交于點F、D、G,AE⊥FG,下列結論:①△GCD和△FOD的面積比為3:1:②AE的最大長度為:③tan∠FEO=④當DA平分∠EAO時,CG=，其中正確的結論有（ ）

A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ③④

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：令x=0，得y=1，得OD=1，由OD=1得CD=2，易證△GCD∽△FOD，從而可得△GCD和△FOD的面積比為4:1，故①錯誤；由勾股定理和三角形三邊關系可得AE的最大長度為，故②正確；由OD⊥OA，AE⊥DE得A、O、D、E四點共圓，由∠FEO+∠OEA=90°，∠ODA+∠OAD=90°，∠OEA=∠ODA得∠FEO=∠ODA故tan∠FEO=tan∠ODA=，故③正確；當DA平分∠OAE時，OE=OD=1，設OF=a,延長AE至點H，則OH=DF=，在Rt△HOA中，HO=1+，OA=3，HA=3+a，HO2+OA2=HA2 解得a=，故CG=2a=，所以④正確.

詳解：令x=0，得y=1，得OD=1，由OD=1得CD=2，易證△GCD∽△FOD，

∴S△GCD：S△FOD=4:1，故①錯誤；

在Rt△AOE中，AD＞AE，所以AE的最大值為AD的長，AD=，故②正確；

∵OD⊥OA，AE⊥DE

∴A、O、D、E四點共圓，

∵∠FEO+∠OEA=90°，∠ODA+∠OAD=90°，∠OEA=∠ODA（同弧所對的圓周角相等）

∴∠FEO=∠ODA

∴tan∠FEO=tan∠ODA=，故③正確；

當DA平分∠OAE時，OE=OD=1

設OF=a,延長AE至點H，則OH=DF=

在Rt△HOA中，HO=1+，OA=3，HA=3+a

HO2+OA2=HA2 解得a=

∴CG=2a=，故④正確.

故選C.